3.3. Примеры материнских wavelet-ов

Два наиболее часто используемых практически wavelet‑a - это Mexican Hat и wavelet Morlet-а.

Mexican Hat - просто вторая производная Гауссиана,

. (9)

Это вещественный wavelet с двумя обращающимися в нуль моментами (n = 0,1).

Morlet wavelet - это модулированный Гауссиан

(10)

(11)

Фактически первое выражение в отдельности не удовлетворяет условиям допустимости (6) и (7) и, следовательно, есть потребность в исправлении. Однако, для достаточно большого w₀ (обычно w₀ => 5.5), этот коррекция численно незначительна. Без коррекции, (10) это функция Gabor-а, наиболее общая функция, используемая в STFT.

Morlet wavelet комплексен, следовательно, соответствующее преобразование S(a,b) - также комплексно, и можно рассматривать отдельно фазу и модуль. Оказывается, что фаза преобразования - определяющий компонент алгоритма обнаружения особенностей в сигнале.

3.4. Локализующие свойства и интерпретация

Главные достоинства CWT следуют из того, что  имеет компактный носитель при этом  и должны быть настолько хорошо локализованы, насколько возможно. Пусть  имеет 'существенный' носитель ширины L, центрированный вокруг 0, в то время как имеет 'существенный' носитель ширины , центрированный вокруг w₀, тогда wavelet-ы  _ab и _ab , имеют, соответственно, 'существенный' носитель ширины аL вокруг b и 'существенный' носитель ширины вокруг w₀/а. Заметьте, что произведение двух ширин постоянно. И она должна быть ограничена снизу фиксированной константой. Учитывем также, что , что 1/a ведет себя подобно частоте. Следовательно:

• если a >> 1, то _ab - широкое окно, в то время как является очень узким вокруг малой частоты w₀/a: это преобразование наиболее чувствительно к низким частотам.

• если a << 1, то _ab является узким окном и широка и центрирована вокруг высокой частоты w₀: этот wavelet имеет хорошую возможность локализации в пространственной области и обычно чувствителен к высоким частотам.

Таким образом, мы получили средство, которое воспроизводит корреляцию между продолжительностью и средней частотой, обсужденную во введении: низкие части частоты сигнала имеют тенденцию быть длинными, в то время как высокие частоты, в общем, встречаются на коротких промежутках времени.

Объединяя эти локализующие свойства с условием нулевого среднего и факт того, что _ab действует подобно фильтру (свертка), мы видим, что CCWT выполняет локальную фильтрацию и во времени и по масштабу.

При принятии всех этих свойств вместе, мы естественно подошли к интерпретации CWT как математического микроскопа, с оптикой , положением b и глобальным увеличением 1/a . Кроме того анализ работает в постоянной относительной ширине полосы частот ( ) так, чтобы это имело лучшее разрешение в высокой частоте, то есть в малых масштабах.

Это свойство делает это идеальным средством для обнаружения особенностей (например, разрывы в сигнале или одной из производных), и также свойств, зависящих от масштаба, в частности для анализа фракталов.