Министерство образования РФ

______________________

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

______________________

А. В. Бадейкин В. В. Геппенер И. А. Корнеев

СИНТЕЗ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАКЕТА ПРОГРАММ MATLAB

Учебное пособие

Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ"

2001

УДК 621.372.542

ББК 3.973.233–018я7

Б15

Бадейкин А. В., Геппенер В. В., Корнеев И. А. Cинтез цифровых фильтров c использованием пакета программ MATLAB: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2001. 72 с.

Содержит основные теоретические сведения о методах синтеза цифровых фильтров. Рассмотрены вопросы использования пакета MATLAB для решения задач синтеза цифровых фильтров на ПЭВМ. Приведены основные сведения по базовым функциям, используемым в задачах синтеза цифровых фильтров. Приведены примеры расчета цифровых фильтров различного типа.

Предназначено для студентов специальности 220400 "Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем".

Рецензенты: кафедра "Радиоэлектронные системы управления" (БГТУ "Военмех" им. Д. Ф. Устинова); канд. техн. наук Н. А. Федоров (ОАО "Радиоавионика").

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

ISBN 5-7629-0404-0 © СПбГЭТУ "ЛЭТИ", 2001

1. Общая характеристика цифровых фильтров

Различают два общих класса сигналов: аналоговые и дискретные. Аналоговым сигналом называется сигнал, определенный для каждого момента времени, дискретным сигналом – сигнал, определенный только в дискретные моменты времени. Как дискретный, так и аналоговый сигналы могут быть однозначно представлены некоторыми функциями частоты, которые называются их частотными спектрами.

Фильтрацией называется процесс изменения частотного спектра сигнала в некотором желаемом направлении. Этот процесс может привести к усилению или ослаблению частотных составляющих в некотором диапазоне частот, к подавлению или выделению какой-нибудь конкретной составляющей и т. п.

Цифровым фильтром называется цифровая система, которую можно использовать для фильтрации дискретных сигналов. Он может быть реализован программным методом или с помощью специальной аппаратуры, и в каждом из этих случаев цифровой фильтр можно применить для фильтрации сигналов как в реальном времени, так и предварительно записанных.

Цифровой фильтр можно представить структурной схемой, изображенной на рис. 1.1. На этой схеме x(n) и y(n) – соответственно, входное воздействие и реакция фильтра на это воздействие. Функционально они связаны соотношением

,

где вид оператора зависит от свойств конкретной системы.

Рис. 1.1

Реакцию цифрового фильтра на произвольное воздействие можно представить с помощью импульсной характеристики фильтра. Допустим, что x(n) – входная, а y(n) – выходная последовательности фильтра и пусть h(n) – отклик на единичный импульс, называемый импульсной характеристикой. Тогда

.

Таким образом, x(n) и y(n) связаны соотношением типа свертки. Частотная характеристика фильтра определяется следующим выражением:

. (1.1)

Поскольку частотная характеристика является периодической функцией частоты , равенство (1.1) можно рассматривать как разложение в ряд Фурье, причем коэффициенты являются одновременно отсчетами импульсной характеристики. Согласно теории рядов Фурье, коэффициентыh(n) могут быть выражены через :

.

Из этого соотношения видно, что h(n) по существу является суперпозицией синусоид с амплитудами, которые можно представить следующим образом:

.

Выражениеназывают амплитудной характеристикой фильтра, а– фазовой характеристикой фильтра.

1.1. Свойства цифровых фильтров

Дадим несколько определений, посвященных цифровым фильтрам.

1. Цифровой фильтр называется стационарным, если его параметры не изменяются во времени, т. е. предварительно невозбужденный фильтр, в котором x(n) = y(n) = 0 при всех n < 0, называют стационарным тогда и только тогда, когда для всех возможных воздействий.

2. Цифровой фильтр называют линейным тогда и только тогда, когда для всехa и b – произвольных постоянных и для всех допустимых воздействий x₁(n) и x₂(n).

3. Цифровой фильтр называют физически реализуемым, если величина отклика при n = n₀ зависит только от значений входной последовательности с номерами n £ n₀. Это означает, что импульсная характеристика h(n) равна нулю при n < 0.

4. Цифровой фильтр называется устойчивым тогда и только тогда, когда реакция на ограниченное воздействие ограничена, т. е. если из при всехn следует при всехn. Необходимым и достаточным условием устойчивости фильтра является следующее требование к его импульсной характеристике:

.