Глава 6 Параметрические Модели случайных процессов

6.1. Введение

В главе 4 спектральная плотность мощности (СПМ) была определена как дискретно-временное преобразование Фурье (ДВПФ) бесконечной автокорреляционной последовательности (АКП). Это соотношение между СПМ и АКП можно рассматривать как непараметрическое описание статистик второго порядка случайного процесса. Ряд других напараметрических спектральных оценок, которые являются строгими функциями АКП, рассматривается в гл. 12 и 13. К параметрическому описанию статистик второго порядка можно можно прийти, рассматривая модель временного ряда, соответствующего анализируемому случайному процессу. В этом случае СПМ модели временного ряда будет прежде всего некоторой функцией параметров этой модели, а не АКП. В данной главе описан один частный класс моделей, возбуждаемых белым шумовым процессом и обладающих рациональными системными функциями. Этот класс включает модель авторегрессионного (АР) процесса, модель процесса авторегрессии - скользящего среднего (АРСС). Выходные процессы моделей этого класса имеют спектральные плотности мощности, которые полностью описываются с помощью параметров модели и дисперсии белого шума определяются по автокорреляционной последовательности с помощью соотношений, описанных ниже в этой главе. Методы оценивания этих параметров моделей и дисперсии белого шума по конечной записи данных рассматриваются в гл. 8-10.

Одна из причин применения параметрических моделей случайных процессов обусловлена возможностью получения на основе этих моделей более точных оценок СПМ, чем это возможно с помощью классических методов спектрального оценивания. Еще одна важная причина - более высокое спектральное разрешение. И периодограмный, и коррелограммный методы, описанные в гл.5, дают оценки СПМ по взвешенной последовательности данных или оценок АКП. Отсутствующие данные или неоцененные значения АКП за пределами применяемого окна неявно полагаются равными нулю, что, естественно, является нереалистическим допущением и приводит к искажениям спектральных оценок. На практике часто имеется некоторая информация относительно процесса, из которого берутся отсчеты данных. Эту информацию можно использовать для построения модели, аппроксимирующей процесс, который породил наблюдаемую временную последовательность. Такие модели позволяют принимать более реалистические допущения о данных вне окна, чем допущение об их равенстве нулю. В результате отпадает необходимость в функциях окна, а следовательно, устраняются и связанные с ними искажения. Степень улучшения разрешения и повышения достоверности спектральных оценок (если они имеются) определяется соответствием выбранной модели анализируемому процессу и возможностью аппроксимации измеренных данных или АКП (известной или оцененной по этим данным) с помощью нескольких параметров модели.

Задание СПМ или АКП требует обеспечения устойчивости и (или) казуальности применяемого фильтра, с тем чтобы получить однозначно определенную модель; этому вопросу посвящен разд.6.6.