Метода и лабы в одном архиве / lab3

FLEXPDE - ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3 от 1024.ru Численное решение системы дифференциальных уравнений: уравнения Пуассона и уравнения непрерывности FLEXPDE - Лабораторная работа №3 Численное решение системы дифференциальных уравнений: уравнения Пуассона и уравнения непрерывности в специализированной среде FlexPDE

Цель работы: изучение возможностей математического пакета FlexPDE на примере решения системы дифференциальных уравнений, состоящей из уравнения Пуассона и уравнения непрерывности, в приближении постоянной подвижности свободных носителей заряда ().

Запишем диффузионно-дрейфовую модель в виде уравнения Пуассона:   — и стационарного уравнения непрерывности: Ñj=0, — где

j - потенциал,

r - плотность тока,

e - диэлектрическая проницаемость,

, где .

n –концентрация,

m - подвижность,

 – коэффициент диффузии.

В данной работе мы будем искать решение в прямоугольной области со сторонами Lx и Ly (см. лабораторная работа №1, рисунок 4.1).

Граничные условия: на границе, определенной координатами (0,0) – (0,Ly), и на границе, определенной координатами (Lx,Ly) – (Lx,0), задан потенциал 0, Fb соответственно и концентрация Nd. На двух других границах будем считать нормальную производную потенциала и концентрации равными нулю.

Для приведения уравнения Пуассона:  — и уравнения непрерывности:  — к безразмерному виду, нормируем входящие в эти уравнения величины следующим образом:

, , , , .

Нормированное уравнение Пуассона имеет вид:

Нормированное уравнение непрерывности имеет вид:

Постановка задачи в специализированной среде FlexPDE:

TITLE        'Drift-diffusion model'   {Диффузионно-дрейфовая модель. Подвижность постоянная.}

SELECT    errlim= 1e-6 

VARIABLE    U          {потенциал}

   n          {концентрация}

  DEFINITIONS    Lx= 15               {нормированная длина канала}    Ly= 1                {нормированная глубина канала}

   La=0.2e-6            {нормировочная длина}

   q=1.6e-19            {заряд электрона}

   mu=0.07              {подвижность}

   k=1.38e-23           {постоянная Больцмана}

   Ta=300               {температура}

   eps=1.14e-10         {диэлектрическая проницаемость}

   Nd=1.3e+23           {уровень легирования}    Fa=0                 {потенциал на истоке}

   Fn=q*Nd*La*La/eps    {константа для нормировки потенциала}

   Fb=0.1/Fn            {потенциал на стоке}

   Ft=k*Ta/q            {тепловой потенциал}

   A=Fn/Ft      

EQUATIONS    DEL2(U)=-(1-n)       {нормированное уравнение Пуассона}

   DEL2(n)-A*(dx(U)*dx(n)+dy(U)*dy(n))-A*n*DEL2(U)=0    {нормированное уравнение непрерывности; здесь dx и dy - оператор частных производных по x и y, соответственно}

BOUNDARIES region 1

   start(0,0)        

   natural(U)= 0   natural(n)=0  line to (Lx,0)   {на участке границы от т.(0,0) до т.(Lx,0) производные потенциала и концентрации по нормали к границе равны нулю}

   value(U)=Fb  value(n)=1   line to (Lx,Ly) {на участке границы от т.(Lx,0) до т. (Lx,Ly) значения  потенциала равно Fb, а концентрации равно единице}

   natural(U)=0  natural(n)=0   line to (0,Ly) {на участке границы от т.(Lx,Ly) до т.(0,Ly) производные потенциала и концентрации по нормали к границе равна нулю}

   value(U)= Fa  value(n)=1   line to (0,0)   {на участке границы от т.(0,Ly) до т.(0,0) значения  потенциала равно Fa, а концентрации равно единице}

PLOTS    surface(U)                    

   surface(n)

   transfer(U)file"U.dat"    {запись результирующего значения U в файл U.dat}     

   transfer(n)file"n.dat"    {запись результирующего значения n в файл n.dat} 

END  

 В результате действия программы получаем график распределения потенциала (рисунок 4) и концентрации свободных носителей заряда (рисунок 5) в заданной области.

Рис. 4. Распределение потенциала.

Рис. 5. Распределение концентрации свободных носителей заряда.

 Порядок выполнения работы:

1.       Записать уравнение Пуассона, уравнение непрерывности и граничные условия к ним в размерном виде.

2.       Привести задачу к безразмерному виду.

3.       Переписать полученные безразмерные уравнения в виде задания для программы FlexPDE.

4.       Получить численное решение в виде графиков распределения потенциала и распределения концентрации свободных носителей заряда.

5.       Записать полученное решение в файл.

Контрольные вопросы:

1.     На какие величины нормируется уравнение Пуассона и уравнение непрерывности?

2.     Чему равна скорость в стационарном уравнении непрерывности?

3.     Чему равен коэффициент диффузии?

4.     Какой вид имеет график концентрации носителей заряда в прямоугольной области?