Метода и лабы в одном архиве / lab1

FLEXPDE - ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 от 1024.ru Численное решение уравнения Лапласа  FlexPDE - ЦИКЛ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

 Лабораторная работа №1

 Численное решение уравнения Лапласа в специализированной среде FlexPDE

Цель работы: изучение формата заданий математического пакета  FlexPDE на примере  численного решения уравнения Лапласа.

Уравнение Лапласа имеет вид: ΔU=0.

Рис. 1.1. Область решения и граничные условия

В данной работе мы будем искать решение уравнения Лапласа в прямоугольной области со сторонами Lx и Ly (рисунок 1.1).

Граничные условия: на границе определенной координатами (0,0) – (0,Ly) и на границе определенной координатами (Lx,Ly) – (Lx,0) задан потенциал Fa и Fb соответственно.  На двух других границах  будем считать  нормальную производную потенциала равной нулю.

Постановка задачи в специализированной среде FlexPDE:

Текст задания  в специализированной среде FlexPDE имеет несколько полей:

TITLE  - заголовок программы;

SELECT – служит для задания параметров задачи;

VARIABLES – служит для задания переменных задачи;

DEFINITIONS – служит для задания вспомогательных переменных задачи;

EQUATIONS – служит для задания уравнений;

BOUNDARIES – служит для задания граничных условий;

PLOTS – служит для вывода графических результатов;

END – обозначает конец программы.

Рассмотрим, как формируется задание на численный расчет поставленной  задачи (в фигурных скобках {} приведены комментарии, которые FlexPDE игнорирует).

TITLE   {заголовок программы}

'Laplace equation'  {заголовок программы выводится на графиках}

SELECT   {раздел параметров}

   errlim= 1e-4   {относительная погрешность (по умолчанию равна 1е-3)}

VARIABLES   {раздел переменных задачи}

   U        {неизвестный потенциал}  

DEFINITIONS   {раздел определения вспомогательных переменных}

   Lx= 15     {длина области}         

   Ly= 1      {ширина области}            

   Fa=0       {потенциал на правой границе}

   Fb=1       {потенциал на левой границе}

EQUATIONS        {раздел уравнений}

   DEL2(U)=0     {уравнение Лапласа (DEL2 - лапласиан)}  

BOUNDARIES       {раздел граничных условий}  

region 1      {название описываемой геометрической области}

start(0,0)    {точка начала описания геометрической области}        

natural(U)= 0   line to (Lx,0)    {на участке границы от т. (0,0) до т. (Lx,0) (line to (Lx,0)) производная потенциала по нормали к границе равна нулю(natural(U)=0)}

   value(U)= Fb   line to (Lx,Ly)   {на участке границы от т. (Lx,0) до т. (Lx,Ly) (line to (Lx,Ly)) значение потенциала равно Fb (value(U)=Fb)} 

   natural(U)=0   line to (0,Ly)   {на участке границы от т. (Lx,Ly) до т. (0,Ly) (line to (0,Ly)) производная потенциала по нормали к границе равна нулю (natural(U)=0)}

   value(U)=Fa   line to (0,0)   {на участке границы от т. (0,Ly) до т. (0,0) (line to (0,0)) значение потенциала равно Fa (value(U)= = Fa)}

PLOTS   {раздел вывода результатов}

    surface(U)   {трехмерный график потенциала}

END   {конец программы}

В зависимости от условий задачи можно изменять границы области Lx и Ly, и граничные условия Fa и Fb.

В результате численного моделирования получаем график распределения потенциала в заданной области — рисунок 1.2.

Рис. 1.2. Распределение потенциала в прямоугольной области.

Порядок выполнения работы:

1.        Записать решаемое уравнение и граничные условия к нему в размерном виде.

2.        Привести задачу к безразмерному виду.

3.        Переписать полученные безразмерные уравнения в виде задания для программы FlexPDE.

4.        Получить решение в виде графика распределения потенциала.

Контрольные вопросы:

1.     Какой вид имеет уравнение Лапласа?

2.     В какой геометрической области решается уравнение Лапласа в специализированной среде FlexPDE?

3.     Какие разделы имеет задание к FlexPDE?

4.     Чему по умолчанию равна относительная погрешность во FlexPDE?

5.     Как задается производная во FlexPDE?

6.     В каком виде получаем результат численного моделирования во FlexPDE?