Метода и лабы в одном архиве / lab4
.htmlFLEXPDE - ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 от 1024.ru Определение эффективной границы: Обедненная область - канал полевого транзистора шоттки FLEXPDE лабораторная работа - 4
Определение эффективной границы: «Обедненная область – канал полевого транзистора шоттки»
Цель работы: изучение возможностей математического пакета FlexPDE на примере моделирования эффективной границы обедненная область – канал ПТШ
Запишем диффузионно-дрейфовую модель в виде уравнения Пуассона: — и стационарное уравнение непрерывности: Ñj=0, — где ().
В данной работе мы будем искать решение в прямоугольной области со сторонами Lx и Ly (см. рисунок 1).
Граничные условия: на границе определенной координатами (0,0) – (0,Ly) и на границе определенной координатами (Lx,Ly) – (Lx,0) задан потенциал 0, концентрация Nd и отрицательный потенциал Fb, концентрация равная нулю соответственно. На двух других границах будем считать нормальную производную потенциала и концентрации равными нулю.
После нормировки уравнение Пуассона имеет вид:
Нормированное уравнение непрерывности имеет вид:
Постановка задачи в специализированной среде FlexPDE:
TITLE 'Drift-diffusion model' {Диффузионно-дрейфовая модель с отрицательным потенциалом}
SELECT errlim= 1e-3
VARIABLES U {потенциал}
n {концентрация}
DEFINITIONS Lx= 15 {нормированная длина канала}
Ly= 1 {нормированная глубина канала}
La=0.2e-6 {нормировочная длина}
q=1.6e-19 {заряд электрона}
mu=0.07 {подвижность}
k=1.38e-23 {постоянная Больцмана}
Ta=300 {температура}
eps=1.14e-10 {диэлектрическая проницаемость}
Nd=1.3e+23 {уровень легирования}
Fa=0
Fn=q*Nd*La*La/eps {константа для нормировки потенциала}
Fb=-0.8/Fn {потенциал на стоке}
Ft=k*Ta/q {тепловой потенциал}
A=Fn/Ft
EQUATIONS DEL2(U)=-(1-n) {нормированное уравнение Пуассона}
DEL2(n)-A*(dx(U)*dx(n)+dy(U)*dy(n))-A*n*DEL2(U)=0 {нормированное уравнение непрерывности; здесь dx и dy - оператор частных производных по x и y, соответственно}
BOUNDARIES region 1
start(0,0)
natural(U)= 0 natural(n)=0 line to (Lx,0) {на участке границы от т.(0,0) до т.(Lx,0)производные потенциала и концентрации по нормали к границе равна нулю}
value(U)=Fb value(n)=0 line to (Lx,Ly) {на участке границы от т.(Lx,0) до т. (Lx,Ly) значение потенциала равно Fb, значение концентрации равно 0}
natural(U)=0 natural(n)=0 line to (0,Ly) {на участке границы от т.(Lx,Ly) до т.(0,Ly)производные потенциала и концентрации по нормали к границе равна нулю}
value(U)= Fa value(n)=1 line to (0,0) {на участке границы от т.(0,Ly) до т.(0,0) значение потенциала равно 0, значение концентрации равно 1}
PLOTS surface(U)
surface(n)
contour (U)
contour(n)
contour(-dx(U))
surface(-dx(U))
transfer(U)file"U.dat" {запись результирующего значения U в файл U.dat}
transfer(n)file"n.dat" {запись результирующего значения n в файл n.dat}
END
В результате численного моделирования, получаем графики распределения потенциала (рисунок 6), концентрации свободных носителей заряда (рисунок 7) и распределение напряженности (рисунок 8) в заданной области.
Рис. 6. Распределение потенциала.
Рис. 7. Распределение концентрации свободных носителей заряда.
Рис. 8. Распределение напряженности.
Порядок выполнения работы:
1. Записать уравнение Пуассона, уравнение непрерывности и граничные условия к ним в размерном виде.
2. Привести задачу к безразмерному виду.
3. Переписать полученные безразмерные уравнения в виде задания программы FlexPDE.
Получить численное решение в виде графиков распределения потенциала, распределения концентрации свободных носителей заряда и распределения напряженности.
5. Записать полученное решение в файл.
Дополнительное задание.
1. Изменением напряжения на затворе добиться, чтобы обедненная область занимала большую часть полупроводниковой структуры.
2. Определить глубину обеднения.
3. Определить глубину обеднения в одномерном случае, решая уравнения Пуассона как задачу Коши в пакете MathCAD (см. рис.10).
3.1. Определить эффективную глубину обеднения из равенства зарядов
3.2. Определить эффективную глубину обеднения из равенства токов (Равенство токов используется в случае квазидвумерного моделирования твердотельных СВЧ приборов).
Сравнить глубины обеднения, полученные в двумерном и одномерных случаях.
Эффективная граница "обедненная область - канал" Введение понятия эффективной границы приводит задачу моделирования ПТШ с размытой границей между областью обеднения и каналом к задаче с резкой границей. Это позволяет использовать уравнения КДМ, полученные на основе предположения о наличии резкой границы.
Рассмотрим распределение концентрации носителей заряда в подзатворной области ПТШ (рисунок 9).
Рис. 9. Распределение концентрации электронов в подзатворной области
Введем эффективную границу таким образом, чтобы полный ток, протекающий в канале, после введения эффективной границы остался прежним. Для соблюдения этого условия необходимо, чтобы ток в области I был равен току в области II :
или (1)
— где h и есть искомое положение эффективной границы. Получение аналитического выражения для h из данного соотношения невозможно.
Ранее, исходя из предположения о близости скоростей в областях I и II к усредненной скорости, выражение (1) было переписано в следующем виде [5]:
(2)
— и получено следующее выражение для эффективной границы:
(3)
— где Nd — концентрация донорной примеси, Te — электронная температура, n(z) — усредненная по поперечному сечению структуры концентрация электронов и q — элементарный заряд.
Исключительно важной задачей является сравнение КДМ с двухмерной моделью. Сравнение позволит определить, какой порядок теории возмущений следует использовать при моделировании ПТШ, а также справедливость учета диффузии. Однако, при построении эффективной границы, на пути сравнения КДМ с двухмерной, стоит вопрос определения эффективной границы между обедненной областью и каналом в рамках двухмерной модели.
Определение положения границы h1(z) и h2(z) из двухмерной модели позволит решить квазидвумерное уравнение и сравнить двухмерное моделирование с квазидвумерным. Определенные таким образом границы (см. рисунок 10) позволят выяснить область применения уравнения (3).
Таким образом, для анализа КДМ требуется определить положения эффективной границы из результатов двухмерного моделирования.
Моделирование эффективной границы в пакете MathCad имеет вид:
Константы, используемые при решении:
Решение уравнения Пуассона методом Рунге-Кута:
Полескоростная характеристика:
Концентрация:
Находим положение эффективной границы, исходя из равенства зарядов:
--потенциал, соответствующий положению эффективной границы.
Находим координату для потенциала, соответствующего положению эффективной границы:
Находим положение эффективной границы, исходя из равенства токов:
-потенциал, соответствующий положению эффективной границы
Находим координату для потенциала, соответствующего положению эффективной границы:
2
4
3
1
Рис. 10. Графики потенциала (1); концентрации (2); положения эффективной границы, найденной из равенства зарядов (3) и положения эффективной границы, найденной из равенства токов, полученные в результате действия в программе MathCad.