4.7. Теми рефератів

1. Лотереї з недискретними розподілами.

2. Системи аксіом прийняття рішень та теорії корисності.

3. Методи побудови функцій корисності та приклади їх реалізації.

4. Моделі портфельного підходу в теорії грошей з використанням функцій корисності.

5. Використання функцій несхильності до ризику під час прийняття рішень.

4.8. Приклади та завдання для самостійної роботи

У завданнях 1—11 необхідно вибрати правильну відповідь і дати їй обґрунтування.

1. Особа є схильною до ризику, якщо:

а) для неї є більш привабливим отримання середнього виграшу в лотереї;

б) вона має функцію корисності ;

в) вона має функцію корисності ;

г) вона має функцію корисноті .

2. Особа є несхильною до ризику, якщо детермінований еквівалент лотереї, у якій вона бере участь:

а) менший сподіваного виграшу в лотереї;

б) більший сподіваного виграшу в лотереї;

в) рівний сподіваному виграшу в лотереї.

3. Згідно із законом спадаючої граничної корисності особа є:

а) нейтральною до ризику;

б) схильною до ризику;

в) несхильною до ризику.

4. Схильність до ризику є джерелом прибутку:

а) страхових компаній;

б) грального бізнесу;

в) інвестиційних компаній;

г) акціонерних компаній.

5. Здатність ризикувати сумою $1000 свідчить про:

а) особливі психологічні особливості індивіда;

б) його майновий стан, який значно більший від цієї суми;

в) його майновий стан, який приблизно рівний цій сумі.

6. На принципі об’єднання ризику базується діяльність:

а) страхових компаній;

б) грального бізнесу;

в) інвестиційних компаній;

г) акціонерних компаній.

Опишіть механізм функціонування цього принципу.

7. Розглядаються дві лотереї: L₁ = L(x₁; p₁; y₁) та L₂ = L(x₂; p₂; y₂). Згідно з принципом домінування лотереї L₁  L₂, якщо:

а) x₁ > x₂ р₁ = р₂ y₁ = y₂;

б) x₁ > x₂ р₁ < р₂ y₁  y₂;

в) x₁ > x₂ р₁ = р₂ y₁  y₂;

г) x₁ > x₂ р₁ = р₂ y₁ > y₂.

8. Розглядаються дві лотереї: L₁ = L(x₁; p₁; y₁) та L₂ = L(x₂; p₂; y₂). Згідно з принципом домінування лотереї L₁  L₂, якщо:

а) x₁  x₂ р₁ = р₂ y₁ > y₂;

б) x₁ = x₂ р₁ < р₂ y₁  y₂;

в) x₁ < x₂ р₁ > р₂ y₁ > y₂ .

9. Корисність за Нейманом для лотереї L = L(x; p; y), де [x; y] — шкала, в якій вимірюється корисність суми x (додаток до існуючого багатства певного індивіда) є:

а) величина x ~ L(x; p; y);

б) величина U(x), для якої x ~ L(x; U(x); y);

в) величина x ~ L(x; U(x); y).

10. Нехай особа має функцію корисності U = U (x) і бере участь в лотереї L = L(x; p; y). Тоді вона є схильною до ризику, якщо :

а) U ((1 – p)x + py) > (1 – p)U(x) + pU(y);

б) U ((1 – p)x + py) = (1 – p)U(x) + pU(y);

в) U ((1 – p)x + py) < (1 – p)U(x) + pU(y).

11. Якщо премія за ризик (Х) > 0, то особа:

а) схильна до ризику;

б) несхильна до ризику;

в) нейтральна до ризику.

12. Нехай певна особа має функцію корисності U(x). Ця особа вивчає для себе можливість участі в одній з лотерей L(10; 0.6; 30) та L(20; 0.2; 30). Якій з цих лотерей вона віддасть перевагу, якщо:

а)

б)

в)

Як ця особа ставиться до ризику (в кожному iз зазначених вище випадків)?

13. Особа має функцію корисності U(x) =  і вона обирає нове місце роботи, виходячи з двох альтернатив. У першому випадку її невизначений прибуток може становити 1,0 грошових одиниць з ймовірністю 0,5 або 3,0 грошових одиниць з тією самою ймовірністю. В іншому місці їй пропонується детермінований прибуток у 2,0 грошові одиниці.

Яке місце роботи доцільно обрати цій особі?

14. Особа має функцію корисності U(x)=0.01x². Вона має три альтернативних варіанти вибору нового місця роботи. Перше місце роботи пов’язане зі стабільним прибутком у 2,0 грошові одиниці. Друге місце роботи пов’язане з ризиком: або мати прибуток 3,0 грошові одиниці з ймовірністю 0,5, або прибуток у 1,0 грошову одиницю. Третє місце роботи також пов’язане з ризиком мати 4,0 грошові одиниці з ймовірністю 0,5 або не мати жодного доходу.

Яке місце роботи доцільно обрати цій особі?

15. Підприємець, функція корисності якого задана як U(x)= 2 , вирішує, як йому краще використати частину свого капіталу розміром 100 млн. доларів. Ці кошти він може:

а) покласти в банк на депозитний рахунок з фіксованим доходом 15% на рік;

б) пустити в оборот і одержати прибуток 50% від вкладених коштів, але ймовірність одержання такого прибутку становить 0,4, а ймовірність того, що підприємець одержить суму, яка буде дорівнювати його первинному капіталу, становить 0,6.

Як підприємцю доцільніше використати свій капітал? Обчисліть премію за ризик і розкрийте її економічну суть.

16. Підприємство, функція корисності якого задана як U(x) = 0.15x², має тимчасово вільний капітал обсягом 100 млн. доларів. Керівництво підприємства вирішило вкласти ці кошти у цінні папери. На ринку цінних паперів керівництво підприємства постало перед вибором:

а) можна вкласти капітал у державні цінні папери з фіксованим прибутком 5% на рік;

б) можна вкласти капітал в акції корпорацій під 20% на рік, причому ймовірність одержання обіцяного прибутку становить 0,7, а ймовірність невдачі, тобто отримання тільки номіналу становить 0,3.

Який вибір доцільніше зробити керівництву підприємства? Обчисліть премію за ризик і розкрийте її економічну суть.

Наведіть приклад підприємства, яке мало б функцію корисності, аналогічну заданій.

17. Двоє студентів у вихідний день вирішили сходити на іподром, маючи у своєму розпорядженні по 50 грн. Перед черговим заїздом вони почали радитись — робити їм ставки чи ні:

а) можна спостерігати за видовищем й зберегти свої гроші;

б) можна зробити ставку в черговому заїзді і при цьому або програти свої гроші з ймовірністю 0,5, або отримати виграш у відношенні 1:3 (також з ймовірністю 0,5).

Яке рішення прийме кожний із студентів, якщо один з них має функцію корисності U(x) = 1.3x, а другий — U(x) = 1.4 .

Охарактеризуйте цих студентів з огляду їхнього ставлення до ризику.

18. Визначте ставлення до ризику осіб, які мають такі функції корисності:

а) U(x) = a + bx, b > 0;

б) U(x) = a – be^–сх, b > 0, c > 0;

в) U(x) = lg(x + b), x > b;

г) U(x) = x², x  0.

Схематично зобразіть графіки відповідних функцій корисності.

19. Користуючись концепцією корисності за Нейманом, порівняйте ефективність рішень, поданих у таблиці (доходи у десятках тисяч доларів).

Рішення	Варіанти доходів
І	10	-5	-5
ІІ	-5	-5	10
ІІI	1,5	1,5	0
ІV	0	0	0
Ймовірності	0,5	0,1	0,4

Відомо, що функція корисності задається формулою:

U(x) = (x + 5)/15.

20. Користуючись концепцією корисності за Нейманом, порівняйте ефективність рішень, записаних у таблиці попередньої задачі, якщо функція корисності задається формулою .

21. Покажіть, що для функції корисноcті виду U(m; ) = m² – k² (пункт 4.4) мають місце властивості:

а) більшій схильності до ризику відповідає більший кут нахилу до осі абсцис дотичної до відповідної кривої;

б) більшій схильності до ризику відповідає більше значення відповідного коефіцієнта варіації.