4.2.4. Премія за ризик. Приклади

За своїм фізичним змістом премія за ризик (надбавка за ризик) (Х) — це сума (в одиницях виміру критерію х), якою суб’єкт керування (особа, що приймає рішення) згоден знехтувати (уступити її) з середнього виграшу (тобто ця сума менша, ніж математичне сподівання виграшу), щоб уникнути ризику, пов’язаного з лотереєю.

Для зростаючих функцій корисності величину премії за ризик (Х) в лотереї L покладають рівною різниці між сподіваним виграшем та детермінованим еквівалентом, тобто



Приклад 4.1. Нехай U(x) = a + bx, b > 0. Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю, що має щільність розподілу f(x). Необхідно відшукати сподіваний виграш, детермінований еквівалент та премію за ризик.

Розв’язання. Сподіваний виграш знаходимо за формулою :

Детермінований еквівалент знаходимо з рівняння:

U( ) = M(U(Х)).

Оскільки , , то .

Отже, для лінійної функції корисності премія за ризик (Х) = – –  = 0.

Приклад 4.2. Нехай U(x) = а – be^–cx, де а > 0, b > 0, c > 0, x  0 (рис.4.1). Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю L(x₁, p; x₂, q), p + q = 1. Відшукати сподіваний виграш та детермінований еквівалент .

Розв’язання. Сподіваний виграш .

Детермінований еквівалент є розв’язком рівняння U( ) = = M(U(Х)) або з рівнозначного рівняння:

Якщо покласти х₁ = 80, х₂ = 100, с = 2, р = 0,7, q = 0,3, то отримуємо:

Премія за ризик (Х) = 86 – 80,2 = 5,8._-

Рис. 4.1. Графік функції корисності U(x) = a – be^{– cx}

Приклад 4.3. Нехай U(x) = a(x – c)² + b,  a > 0,  b  0,  c  0. Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю L(x₁, p; x₂, q), p +q = 1.



Відшукати сподіваний виграш та детермінований еквівалент .

Розв’язання. Як і раніше, — сподіваний виграш. Детермінований еквівалент є розв’язком рівняння:

Поклавши, як і в попередньому прикладі, х₁ = 80, х₂ = 100, c = 2, р = 0,7, q = 0,3, отримуємо:

Премія за ризик (Х) = 86 – 86,5 = – 0,5._-

Слід зауважити, що згідно з основним положенням теорії корисності, суб’єкт керування, що приймає рішення в умовах невизначеності та породженого нею ризику, повинен максимізувати сподіване значення корисності результатів.

4.3. Різне ставлення до ризику та корисність

4.3.1.Несхильність та схильність до ризику

Вигляд функції корисності може дати інформацію про ставлення до ризику особи, яка приймає рішення.

Особу, яка приймає рішення, називають несхильною до ризику, якщо для неї більш пріоритетною є можливість одержати гарантовано сподіваний виграш у лотереї, аніж брати в ній участь.

З попереднього відомо, що корисність лотереї збігається з математичним сподіванням корисності її випадкових результатів. Отже, умова несхильності до ризику записується як

U(M(X)) > M(U(X)).

 Твердження 1. Особа, яка приймає рішення, не схильна до ризику тоді і тільки тоді, коли її функція корисності опукла вгору.

Особу, яка приймає рішення, називають схильною до ризику, якщо для неї більш пріоритетною є участь у лотереї, ніж можливість одержати гарантовано сподіваний виграш.

Отже, умова схильності до ризику записується як

U(M(X)) < M(U(X)).

 Твердження 2. Особа, яка приймає ріщення, схильна до ризику в тому i тільки в тому випадку, коли її функція корисності опукла вниз.

Рис. 4.2. Функція корисності особи, несхильної до ризику

Графічне доведення справедливості тверджень 1 та 2 для лотереї L(x₁, p; x₂,q), p +q=1, наведене відповідно на рис.4.2 та рис.4.3 (там

Рис. 4.3. Функція корисності особи, схильної до ризику