4.3.6. Купівля лотереї

Нехай тепер суб’єктом (надалі — покупцем) вирішується питання щодо купівлі лотереї L_пр (купівлі права на участь в ній). Оскільки він має свою функцію С-НСР U_пк(х) = F_пк(х), то його підхід до процесу купівлі може бути таким. Покладемо b = Мо(х), тобто f_пк(b) =  , де f_пк(х) = F_пк(х).

Якщо інтервал [x_*, x^*] належить до зони несхильності до ризику покупця (b < х_*), то про купівлю цієї лотереї не може бути й мови. Якщо [x_*, x^*] належить до зони схильності покупця до ризику (b > х^*), то він згодиться на придбання цієї лотереї за суму х < x^*.

Якщо ж b  [x_*, x^*], то покупець згодиться придбати лотерею за суму x  b. Якщо ж [x_*, x^*] належить до зони нейтральності до ризику, то за суму x  b.

Тепер можна зробити такі висновки: акт купівлі-продажу лотереї відбудеться тоді, коли

C_* = max{x_*, a} < min{b, x^*} = C^*,

і сума х, на якій можуть зійтись продавець і покупець, буде належати інтервалу [C_*,C^*].

Більш глибокі дослідження щодо процесу купівлі-продажу лотереї можна отримати при введенні в розгляд таких характеристик випадкової величини, як медіана, модальна дисперсія, а також таку характеристику суб’єкта, як його поріг несхильності до ризику (поріг схильності).

Слід також мати на увазі, що у випадку симетричних функцій щільності розподілу ймовірностей f_пр(х) та f_пк(х) в процесі дослідження використовується величина сподіваного прибутку  = = M(X), оскільки тоді Мо(Х) = М(Х).

Розглянутій лотереї можна надати таку економічну інтерпретацію. У ролі покупця лотереї може виступати підприємець, який має свою функцію корисності. У ролі продавця — статистичні дані щодо результатів в даному виді підприємницької діяльності, які подано у вигляді функції розподілу ймовірностей (чи функції щільності розподілу).

Приклад 4.4. Відомо, що в даному виді виробничої діяльності функція щільності відносних збитків задається формулою (відносні збитки вважаються від’ємними за значеннями):

Чи буде здійснено інвестування в даний вид економічної діяльності, якщо функція корисності цього інвестора щодо відносних збитків є такою:



Розв’язання. Інвестора в даній ситуації слід розглядати як покупця лотереї

L_пр = L(x  (– , + 0); f_пр(x)),

де f_пр(х) = f(х).

Похідна від функції корисності інвестора

.

Для продавця (згідно з результатами теми 3):

а = Мо(Х) = – 30;

для покупця:

b = Мо(Х) = – 25.

Оскільки b > а, то приходимо до висновку, що інвестування в даний проект швидше всього відбудеться._-

Приклад 4.5. Особа, функція корисності якої є зрізаним на проміжку [300, 1200] нормальним законом розподілу (інтегральна функція) з параметрами m = 600 та  = 200, має кілька альтернативних варіантів щодо вибору місця роботи.

Перше місце роботи, пов’язане із стабільним доходом обсягом 650 гривень. Друге місце роботи, пов’язане з ризиком: або мати дохід 850 гривень з імовірністю р = 0,5, або дохід обсягом 450 гривень. Третє місце роботи також пов’язане з ризиком мати дохід 1050 гривень з імовірністю р = 0,5, або ж — 250 гривень.



Яке місце роботи вигідніше обрати цій особі?

Розв’язання. Побудуємо функцію корисності:

Тобто

Для зручності (і це відповідає теорії) будемо користуватись функцією U₀(x) = 100 U(x). Схематичний графік функції U₀(x) зображено на рис.4.5.

Рис. 4.5. Функція корисності, що відповідає зрізаному нормальному розподілу

Першому місцю роботи (особа має стабільний дохід обсягом 650 гривень) відповідає вироджена лотерея

L₁ = L(650;1);

корисність цієї лотереї

U(L₁) = 1 U (650)  57 (одиниць).

Другому місцю роботи відповідає лотерея

L₂ = L(450; 0,5; 850; 0,5),

сподіваний дохід якої становить

= 0,5 450 + 0,5  850 = 650 (гривень),

тобто він рівний доходові на першому місці. Корисність лотереї L₂

U(L₂) = 0,5 · U(450) + 0,5 · U(850)  52 (одиниці).

У разі обрання третього місця роботи сподіваний дохід становить, як і в перших двох випадках, 650 гривень:

.

Корисність, пов’язана з ризиком на третьому місці роботи, дорівнює корисності лотереї L₃= L(250; 0,5; 1050; 0,5), і вона становить:

U(L₃) = 0,5 · U(250) + 0,5 · U(1050)  50 (одиниць).

Отже, з трьох місць роботи слід обрати перше, де і корисність найбільша (57 одиниць), і дохід стабільний._-