4.5. Функція корисності з інтервальною нейтральністю до ризику

Рис. 4.8. Інтервальна нейтральність (глобальна несхильність) до ризику

Функція корисності з інтервальною нейтральністю відображає ставлення до ризику особи, що приймає рішення, для якої характерна нейтральна позиція щодо ризику за умов, що результат (грошовий дохід, багатство) знаходиться в певних межах. У той же час при розгляді всього інтервалу зміни резуль­тату, корисність якого оцінюється, ставлення до ризику не буде нейтральним [5].

Один із типів функцій з інтервальною нейтральністю до ризику має такий вигляд:

Якщо а_і > 0, то U(x) — зростаюча функція корисності, що характеризує несхильність до ризику, оскільки вона є опуклою вгору (рис. 4.8). Часто U(x) подають у такому вигляді:

де а₁ > а₂ >...> a_n, a b₁ > b₂ >...>b_n; x₁, x₂, ..., x_n–1 — точки перетину графіків функцій a₁x + b₁ та a₂x + b₂, a₂x + b₂ та a₃x + b₃ і т.д. відповідно. Оскільки величина вільного члена функції корисності не змінює її стратегічну еквівалентність, то приймають, що b₁ = 0 (див. рис. 4.8).

На інтервалах [0, x₁], [x₁, x₂], ..., [x_n–1, ) функція буде нейтральною до ризику.

Зростаюча функція з інтервальною нейтральністю, яка відображає глобальну схильність до ризику, має такий вигляд:

де 0 < a₁< a₂<...< a_n; 0 > b₁ > b₂ >...> b_n (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Інтервальна нейтральність (глобальна схильність) до ризику

Можливі конструкції інтервально-нейтральних функцій, які поєднують глобальну схильність та несхильність до ризику (рис.4.10) .

На інтервалах [0, x₁], [x₁, x₂], [x₂, ) функція нейтральна до ризику. На інтервалі [0, x₂] вона відображає схильність до ризику, а на [x₁, ) — несхильність до ризику.

Рис.4.10. Інтервально-нейтральна функція схильності-несхильності до ризику

За допомогою функцій з інтервальною нейтральністю до ризику з будь-якою точністю можна апроксимувати нелінійні функції корисності. Точність апроксимації залежить від вибору точок та кількості інтервалів. Іноді для цього достатньо небагато інтервалів (див. рис. 4.8, де поряд з інтервально-нейтра­льною функцією зображено нелінійну функцію, що апроксимується).

Для зручності інтервали нейтральності до ризику класифікують. Наприклад, інтервал [0, x₁], зображений на рис.4.8, є інтервалом з високою граничною корисністю, [x₁, x₂ ] — з середньою, [x₂,  ) — з низькою.

Приклад 4.7. Побудуйте інтервально-нейтральну функцію корисності згідно з даними, наведеними в табл.4.1.

Таблиця 4.1

Значення змінної	0	10	20	30	40	50
Значення функції корисності	0	0,05	0,20	0,40	0,65	1



Розв’язання. Інтервально-нейтральну функцію корисності, що відповідає умові задачі, наведено на рис.4.11.

Рис. 4.11. Приклад побудови інтервально-нейтральної функції корисності

Для її побудови скористаємось рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки А(х_а,U_a) та В(х_b,U_b) :

Тоді для відповідних інтервалів отримуємо:

[0, 10]: U(х) = 0,005x;

[10, 20]: U(х) = 0,015x – 0,1;

[20, 30]: U(х) = 0,02x – 0,2;

[30, 40]: U(х) = 0,025x – 0,35;

[40, 50]: U(х) = 0,035x – 0,75.

Графічні образи приведених прямих зображено на рис.4.11._-

?

4.6. Контрольні запитання та теми для обговорення

1. У чому полягає суть концепції корисності? Наведіть приклади.

2. Поясніть термін «гранична корисність». Розкрийте суть цього терміна.

3. Який існує зв’язок між прийняттям рішень в умовах економічного ризику та кількісними властивостями корисності?

4. Дайте визначення терміна «сподівана корисність», охарактеризуйте методи її обчислення.

5. Що таке функція глобальної (локальної) відмови від ризику? Наведіть відповідні приклади.

6. Дайте змістовну інтерпретацію функції корисності з інтервальною нейтральністю до ризику.

7. Наведіть приклади функції корисності, пов’язані з різним відношенням до ризику.

8. Дайте характеристику кривій байдужості. Яке місце займає вона в теорії економічного ризику?

9. Дайте визначення детермінованого еквівалента.

10. Накресліть типовий графік функції корисності особи, схильної до ризику.

11. Накресліть типовий графік функції корисності особи, байдужої до ризику.

12. Сформулюйте аксіоми, яким задовольняє нестроге співвідношення пріоритетності.

13. Дайте визначення поняття «лотерея» й наведіть основну формулу теорії сподіваної корисності.

14. Дайте визначення поняття «премія за ризик». Наведіть формулу для її обчислення.

15. Що приймається за міру несхильності до ризику?

16. Зобразіть на рисунку криві байдужості двох осіб з різним ставленням до ризику. З’ясуйте їх суть.

17. Зобразіть на рисунку криві схильності-несхильності до ризику двох осіб з різним відношенням до ризику. З’ясуйте їх суть.