4.3.2. Функція схильності-несхильності до ризику

При різних рівнях доходу (багатства) ставлення людини до ризику може змінюватись. Досить реалістичною гіпотезою для широкого кола суб’єктів є схильність до ризику при невеликих сумах (відносно загального достатку) та несхильність при значних сумах. Графічно ця гіпотеза зображена на рис. 4.4.

Р ис.4.4. Функція схильності-несхильності до ризику (С-НСР)

Що стосується функцій, які описують висунуту гіпотезу, то їх будемо називати функціями схильності-несхильності до ризику (С-НСР).

Можна зробити висновок, що ставлення до ризику — це локальна характеристика особи. Якщо людина більш заможна, то вона може дозволити собі ризикнути більшою сумою. Чим заможніша людина, тим більш праворуч на графіку її функції С-НСР розташована зона несхильності до ризику (точка а).

Аналітично функції корисності такого типу можна задати за допомогою зрізаних функцій розподілу ймовірностей, а саме:

Наприклад, виходячи з нормального закону розподілу, що має параметри m та , отримуємо:

Несхильність (або нейтральність) до ризику використовується страховими компаніями, які скуповують ризик. На схильності до ризику функціонує гральний бізнес.

4.3.3. Нейтральність до ризику

Проміжне значення між схильністю та несхильністю до ризику відіграє нейтральність (байдужість) до ризику. Вона визначається байдужістю особи у виборі між отриманням гарантованої суми, яка збігається з середньоочікуваним виграшем, та участю у лотереї.

Очевидно, що

а) функція корисності для особи, нейтральної до ризику, є лінійною, тобто

U(x) = ax + b;

б) умова байдужості до ризику:

U(M(Х)) = M(U(Х));

в) величина сподіваного виграшу збігається з детермінованим еквівалентом лотереї ( ), а тому премія за ризик (Х) = 0.

 Твердження 3. При зростаючій функції корисності для всіх невироджених лотерей особа, яка приймає рішення, тоді і тільки тоді є:

а) несхильною до ризику, коли премія за ризик є додатною ( (Х) > 0);

б) схильною до ризику, коли премія за ризик є від’ємною ( (Х) < 0);

в) нейтральною до ризику, якщо премія (Х) = 0.

Приклади деяких функцій корисності наводились раніше (пункт 4.2.4).

4.3.4. Стратегічна еквівалентність

Під час вибору конкретних функцій корисності зручно користуватись поняттям стратегічної еквівалентності. Кажуть, що дві функції U₁(x) та U₂(x) є стратегічно еквівалентними (записується U₁(x)  U₂(x)), якщо вони однаково впорядковують за ступенем привабливості будь-яку пару лотерей.

 Твердження 4. Якщо U₁(x)  U₂(x), то існують дві константи а і b (b > 0), при яких U₁(x) = a + bU₂(x).

З твердження 4 випливає, що:

U₁(x) = a + bx  U₂(x) = x;

U₁(x) = a – be^{– cx}  U₂(x) = – e^{– cx}.

Якщо функцією С-НСР є функція розподілу ймовірностей F(x), то, враховуючи, що функція f(x) = F(x) є функція щільності розподілу ймовірності, можна дати інтерпретацію лотереї з недискретним (неперервним) розподілом ймовірностей:

L(Х  [x_*, x^*]; f(x)).

4.3.5. Продаж лотереї

Нехай суб’єкт (надалі — продавець) вирішує питання щодо продажу лотереї (відмови від участі в ній). Оскільки цю лотерею він розглядає з точки зору свого розуміння корисності (з позицій своєї функції С-НСР U_пр(х) = F_пр(x)), то можна говорити, що продається лотерея

L_пр = L(Х  [x_*, x^*]; f_пр(x)),

де f_пр(x) = F_пр(x) — щільність розподілу ймовірності прибутків, отриманих продавцем від участі в різних лотереях. Позначимо через а = Мо(Х), тобто f_пр(a) =  .

Тоді у випадку, коли інтервал [x_*, x^*] належить до зони несхильності суб’єкта до ризику, тобто а < x_*, він (швидше всього) буде вважати лотерею несприятливою (такою, що може завдати йому значних збитків) i відмовиться від участі в ній за умови, що величина винагороди х  х_* (або за будь-яку суму, що є не меншою від величини затрат на придбання права на свою участь в лотереї).

Якщо [x_*, x^*] належить до зони схильності суб’єкта до ризику, тобто а > x^*, то він не уступить свого права на участь в цій лотереї. Але у випадку, коли а >> x^* (>> — значно більше), то з погляду непрестижності суб’єкт може відмовитись від такої лотереї і швидше всього — безплатно (ситуація меценатства, любові, альтруїзму).

Якщо ж точка а  [x_*, x^*], то суб’єкт (інвестор) може відмовитись від участі в лотереї за суму х  [a, x^*].

Розглянемо окремо випадок, коли інтервал [x_*, x^*] належить до зони нейтральності суб’єкта до ризику. Тоді на цьому інтервалі функція корисності має характер, близький до лінійного:

U(x) = kx + b    f(x) = U(x) = k = const,

тобто функція щільності f(x) описує рівномірний розподіл (для суб’єкта) можливих значень прибутку від участі в лотереї, і суб’єкт може уступити своє право на участь в ній за суму х  а.