4.2. Корисність за Нейманом

4.2.1. Поняття лотереї

Для визначення корисності розглядається вибір особи в умовах ризику, який формалізується за допомогою поняття лотереї.

Для цього необхідно з множини Х пред’явлених експертам значень певного економічного показника (об’єкта) виділити два значення х_* та х^* таких, що х   х_* та х   х^* для всіх х  Х, тобто найменш пріоритетне, в певному сенсі, значення економічного показ­ника (це буде «нуль» даної шкали інтервалів) і найбільш пріоритетне, в певному сенсі, значення показника (разом з «нулем» вони визначають масштаб даної шкали). Власне, так побудована функція корисності Дж. ф. Неймана і О.Моргенштерна. Експерту пропонують порівняти між собою дві альтернативи:

1) значення показника х;

2) лотерею: одержати х^* з імовірністю 1 – р чи х_* з імовірністю р. Величину імовірності р змінюють доти, доки, на погляд експерта, значення показника х і лотерея L(х_*, p, x^*) не стануть еквівалентними, тобто x  L(х_*, p, х^*).

Максимальному й мінімальному значенням х^* та х_* приписують довільні числові значення U^*= U(х^*) та U_* = U(x_*), але так, щоб U^* > U_*.

Під лотереєю L(x_*, p(x), x^*) розуміють ситуацію, у якій особа може отримати х_* з імовірністю р(х) або х^* з імовірністю 1 – р(х). (Часто використовують запис: L(x_*, p(x); x^*, q(x)), де q(х) = 1 – р(х)).

За Нейманом корисність варіанта х визначається ймовірністю U(х) = р(х), при якій особі байдуже, що обирати: х — гарантовано, чи лотерею L(х_*, р(х), х^*), де х^*, х_* — вектори, більш та менш пріоритетні порівняно з х.

Наприклад, у якості функції корисності можна брати функцію

бо для всіх x  [x_*, x^*] значення q(х)  [0; 1]. Оскільки при зростанні х від х_* до х^* значення q(х) будуть збільшуватися, то вибрана таким чином функція корисності буде зростаючою.

Якщо покласти

то в цьому випадку ми отримаємо спадаючу функцію корисності (p(x) = 1 – q(x); p(x)  [0, 1] для x  [x_*, х^*]).

У якості функції корисності (згідно з Нейманом) можна використати функції розподілу ймовірностей:

U(x) = F(x) = P(X < x).

Hаприклад:

4.2.2. Сподівана корисність

Нехай L — лотерея, що приводить до виграшів (подій) x₁, х₂, ...., х_n з відповідними ймовірностями p₁, p₂, ..., p_n. Позначимо сподіваний виграш (математичне сподівання виграшу) через :

Справедлива основна формула теорії сподіваної корисності:

тобто корисність ансамблю результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.

4.2.3. Детермінований еквівалент лотереї. Страхова сума

Поняття детермінованого еквівалента лотереї L є одним з основних при розгляді різних характеристик ризику та їхнього взаємозв’язку з функціями корисності.

Детермінований еквівалент лотереї L — це гарантована сума , отримання якої еквівалентне участі в лотереї, тобто   L. Отже, визначається з рівняння:

U( ) = M(U(Х)), або = U ^{– 1}(M(U(Х))),

де U ^{– 1} () — функція, обернена до функції U(x).

Сподіваний виграш та детермінований еквівалент, що їх визначено вище, стосуються лотереї із скінченним числом можливих виграшів. Якщо можливі виграші описуються щільністю розподілу f(x), то сподіваний виграш у цій лотереї дорівнює:

а детермінований еквівалент можна знайти із співвідношень:

.

Страховою сумою (СС) називають величину детермінованого еквівалента, взяту з протилежним знаком:

CC(Х) = – .

Якщо особа, яка приймає рішення, стикається з несприятливою для неї лотереєю (тобто лотереєю, яка менш пріоритетна, ніж стан, у якому вона перебуває), то природно запитати, скільки б вона заплатила (в одиницях виміру критерію х) за те, щоб не брати участь у цій лотереї (уникнути її). Для визначення розмірів цього платежу вводиться до розгляду величина, яку називають премією за ризик.