8.5. Машинні методи аналізу аеу

У підрозділі 2.3 приведена основна ідея узагальненого методу вузлових потенціалів, на основі якого були отримані більшість співвідношень для ескізного розрахунку підсилювальних каскадів. Проте разом з безперечними достоїнствами даного методу (простота програмування, мала розмірність отримуваної матриці провідності Y, nn, де n- кількість вузлів схеми без опорного), даний метод має ряд істотних недоліків. В першу чергу слід зазначити неможливість уявлення у вигляді провідності деяких ідеальних моделей електронних схем (короткозамкнутих гілок, джерел напруги, залежних джерел, керованих струмом і так далі). Крім того, представлення індуктивності провідністю незручно при тимчасовому аналізі схем, що пов'язане з перетворенням Лапласа (оператор Лапласа p повинен бути в чисельнику для того, щоб система рівнянь алгебри і отримана в результаті перетворення система диференціальних рівнянь мала однакові коефіцієнти).

В даний час найбільшого поширення набули топологічні методи формування системи рівнянь електричного ланцюга, найбільш загальним з яких є табличний [4].

У цьому методі всі рівняння, що описують ланцюг, включаються в загальну систему рівнянь, що містить рівняння Кирхгофа для струмів, напруги і компонентні рівняння.

Рівняння Кирхгофа для струмів можна представити у вигляді

,

де A- матриця инценденции [4], що описує топологію ланцюга - вектор струму гілок.

Рівняння Кирхгофа для напруги мають вигляд

,

де і - відповідно, вектора напруги гілок і вузлових потенціалів - транспонована матриця инценденции А.

У загальному випадку рівняння, що описують елементи ланцюга, можна представити в наступній формі:

,

де і - відповідно, квазідіагональні матриці провідності і опору гілок - вектор, куди входять незалежні джерела напруги і струму, а також початкова напруга і струми на конденсаторах і индуктивностях.

Запишемо приведені рівняння в наступній послідовності:

;

;

;

і представимо в матричній формі

або в загальному вигляді

TX=W.

Табличний метод має головним чином теоретичне значення, оскільки разом з основною гідністю, що виражається в тому, що можливе знаходження всіх струмів і напруги гілок і вузлових потенціалів, має ряд істотних недоліків. В першу чергу слід зазначити надмірність методу, що приводить до великої розмірності матриці Т. Далєє слід зазначити, що багато ідеальних керованих джерел приводять до появи зайвих змінних. Наприклад, вхідний струм керованих напругою джерел струму і напруги, а також вхідна напруга керованих струмом джерел струму і напруги рівні нулю, але в даному методі вони розглядаються як змінні.

У практичному плані найчастіше використовується модифікація табличного методу - модифікований вузловий метод з перевіркою [4].

Ідея даного методу полягає в розділенні елементів на групи; одна група сформована з елементів, які описуються допомогою провідності, для елементів другої групи такий опис неможливий. Оскільки через струми гілок першої групи можна виразити напругу гілок, а напруга гілок через вузлові потенціали, то можна виключити з табличних рівнянь всю напругу гілок, а для елементів першої групи ще і струми гілок. При введенні додаткових рівнянь для струмів в гілках з елементами другої групи проводиться перевірка на наявність заздалегідь відомих (нульових) змінних. В результаті такого перетворення отримаємо рівняння модифікованого вузлового методу з перевіркою

або в загальному вигляді

,

де n- розмірність матриці провідності елементів першої групи (n- число вузлів схеми без нульового); m- число додаткових рівнянь для елементів другої групи; - вектор незалежних джерел струму; - вектор струмів гілок елементів другої групи; - вектор, куди входять незалежні джерела напруги, а також початкова напруга і струми на конденсаторах і индуктивностях, представлених елементами другої групи.

Для спрощення програмування зазвичай представляють матрицю коефіцієнтів системи рівнянь модифікованого вузлового методу у вигляді суми двох матриць розмірністю (n+m)*(n+m)

.

До матриці G вносять всю активну провідність і коефіцієнти, відповідні не-залежним елементам, а в матрицю С- всі частотнозависимые елементи, причому індуктивності зазвичай представляють елементом другої групи, тобто опором. Далі знаходять вирішення даної системи рівнянь, використовуючи алгоритми Гауса-Жордана або L/U- розкладання [4].

При частотному аналізі електронних схем оператор р замінюється на j, організовується цикл по частоті, усередині якого для кожної частотної крапки формується система рівнянь, яка вирішується щодо напруги, що цікавлять, і струмів.

При тимчасовому аналізі лінійних електронних схем можливо безпосередньо використовувати модифіковану вузлову форму рівнянь

.

Після переходу в тимчасову область отримаємо

,

або

.

Вирішення отриманої системи диференціальних рівнянь знаходиться шляхом чисельної інтеграції. Одними з ефективних методів чисельної інтеграції є методи, що спираються на лінійні багатокрокові формули [4], до простих з яких відносяться формули Ейлера (пряма і зворотна) і формула трапецій.

Розбивши часовий інтервал [0,T] на кінцеве число відрізань h і поклавши для кожного моменту часу можна знайти наближення до дійсного рішення шляхом застосування лінійних багатокрокових формул:

(пряма формула Ейлера);

(зворотна формула Ейлера);

(формула трапецій).

Знаходження для (n+1) -го кроку обчислень можливо шляхом застосування прямої формули Ейлера.

Оскільки напруга на конденсаторі і струм, що протікає через нього зв'язані співвідношенням i=CdV/dt, а для індуктивності маємо V=Ldi/dt, те застосування зворотної формули Ейлера рівноцінне переходу від ємкостей і индуктивностей до їх еквівалентних схем, показаних на малюнку 8.6, внаслідок чого ланцюг стає резистивним. Такі моделі індуктивності і ємкості носять назву сіткових (супроводжуючих, дискретних) моделей.

Відшукання робочої крапки або розрахунок по постійному струму є першим кроком при нелінійному аналізі УУ. Аналіз характеристик по постійному струму схем, що містять нелінійні опори, зводиться до вирішення системи нелінійних рівнянь виду f(x)=0.

Оскільки закони Кирхгофа застосовні не тільки до лінійних, але і до нелінійних елементів, для формування системи рівнянь f(x) можливе використання вже розглянутих табличних методів. Структура отримуваних табличних рівнянь буде розглянута нижче.

Для вирішення системи нелінійних рівнянь f(x) застосовується метод Ньютона-рафсона [4]. Метод передбачає використання початкового наближення проведення ітераційної процедури і, якщо величина достатньо мала, констатацію факту збіжності (n- кількість ітерацій):

,

де J- якобиан (матриця Якобі) розмірністю (m*m)

.

В процесі ітераційної обробки даної системи рівнянь на кожному етапі ітерації можуть бути набуті значень і J; це еквівалентно вирішенню лінійного рівняння у формі

.

Іншими словами, вирішення нелінійних рівнянь можна інтерпретувати як повторне вирішення лінійних рівнянь на кожному етапі ітераційного процесу.

Структура якобиана зовні співпадає з табличними рівняннями лінійних ланцюгів, які перетворені з урахуванням розрахунку по постійному струму, - прибрані конденсатори і закорочені котушки індуктивності.

Хай табличні рівняння задані в наступній формі:

;

;

;

Система рівнянь визначає зв'язок між струмами і напругою гілок в неявній формі, деякі з цих залежностей можуть бути лінійними.

Матриця Якобі на n-й ітерації матиме вигляд

,

де ; де .

Для формування якобиана можливе використання різних модифікацій табличного методу, у тому числі і модифікованого вузлового з перевіркою. Результат аналізу схеми по постійному струму (режим по постійному струму) може бути використаний як початкове наближення при тимчасовому аналізі нелінійних електронних схем.

Нелінійні рівняння легко включаються в рівняння ланцюги, складені табличним або модифікованим вузловим методом. Лінійні елементи, як і раніше, лінійними компонентними рівняннями. Для нелінійних рівнянь характерні рівняння в неявній формі, хоча іноді нелінійності можна описати і в явній формі. Нелінійні ємкості і індуктивності краще всього описувати за допомогою додаткових змінних - електричних зарядів і магнітних потоків відповідно, які повинні бути введені у вектор невідомих. Якщо це виконати, то рівняння, записані як табличним, так і модифікованим вузловим методами можна представити в наступному вигляді:

,

де E і G- постійні матриці, а всі нелінійності зведено у вектор p(x).

Отримана система диференціальних рівнянь вирішується шляхом інтеграції з використанням формули диференціювання назад [4] і алгоритму Ньютона-рафсона, для чого формується якобиан. В цілому структура якобиана для лінійного і нелінійного ланцюга ідентична, відмінність між ними в тому, що нелінійна ємкість (індуктивність) буде представлена двома рівняннями, а заряд q (потік ) стане ще одним невідомим. Проте і для лінійних ємкостей і индуктивностей можна ввести заряди і магнітні потоки як змінних, що приведе до збігу якобиана і матриці системи рівнянь. Будь-яка нелінійна провідність з'явиться в якобиане аналогічно лінійній провідності в матриці З модифікованого вузлового методу. Таким чином стає можливим єдиний підхід до формування і вирішення рівнянь лінійних і нелінійних ланцюгів з метою отримання їх тимчасових і частотних характеристик, що і успішно реалізується в сучасних пакетах проектування схемотехніки.

Більш детально перераховані методи, а також інші питання аналізу електронних ланцюгів приведені в [4]. У [19] описаний один з пакетів проектування схемотехніки Electronics Workbench.