8.4. Аналіз чутливості

Чутливістю називається реакція різних пристроїв на зміну параметрів її компонент.

Коефіцієнт чутливості (функція чутливості або просто чутливість) є кількісною оцінкою зміни параметрів пристрою (в т.ч. і АЕУ) при заданій зміні параметрів його компонент.

Необхідність розрахунку функції чутливості виникає при необхідності обліку впливу на характеристики АЕУ чинників навколишнього середовища (температури, радіації і так далі), при розрахунку необхідних допусків на параметри компонент, при визначенні відсотка виходу ІМС, в завданнях оптимізації, моделювання і так далі

Функція чутливості параметра пристрою у до зміни параметра компоненту визначається як приватна похідна

.

Даний вираз отриманий на основі розкладання в ряд Тейлора функції декілька змінних де

.

Нехтуючи приватними похідними другого і більш за порядок, отримуємо зв'язок функції чутливості і відхилення параметра :

.

Існують різновиди функції чутливості:

 абсолютна чутливість абсолютне відхилення при цьому рівне ;

 відносна чутливість відносне відхилення рівне ;

 напіввідносні чутливості

Вибір виду функції чутливості визначається видом вирішуваного завдання, наприклад, для комплексного коефіцієнта передачі відносна чутливість рівна відносній чутливості модуля (дійсна частина) і напіввідносної чутливості фази (уявна частина):

.

Для простих схем обчислення функції чутливості може здійснюватися прямим диференціюванням схемної функції, представленої в аналітичному вигляді. Для складних схем, отримання аналітичного виразу схемній функції є складним завданням, можливе застосування прямого розрахунку функції чутливості через прирости. В цьому випадку необхідно проводити n аналізів схеми, що для складних схем вельми нераціонально.

Існує непрямий метод розрахунку чутливості по передавальних функціях, запропонований Биховським [17]. Згідно цьому методу, функція чутливості, наприклад, прямого коефіцієнта передачі рівна твору функцій передачі з входу схеми до елементу, щодо якого шукається чутливість, і передавальної функції "елемент - вихід схеми" (малюнок 8.4а).

Оскільки розрахунок функції чутливості зводиться до розрахунку передавальних функцій, то для їх знаходження можливе застосування, наприклад, узагальненого методу вузлових потенціалів. Непрямий метод розрахунку по передавальних функціях дозволяє знаходити функції чутливості вищих порядків. На малюнку 8.4б проілюстровано знаходження функції чутливості другого порядку. Загалом же існує n! шляхів передачі сигналу, кожен з яких містить n+1 співмножників.

Нижче описується метод розрахунку функції чутливості, що поєднує прямий метод диференціювання і непрямий по передавальних функціях, такий, що дозволяє за один аналіз знаходити чутливість до n елементів схеми [18]. Розглянемо даний спосіб на прикладах отримання виразів для абсолютної чутливості першого порядку S-параметров електронних схем, описаних матрицею провідності [Y].

У матричному представленні характеристики електронних схем, у тому числі і параметри розсіяння [S], визначаються у вигляді відносин доповнень алгебри матриці [Y] (див. підрозділ 7.2). Змінний параметр входить при цьому в деякі елементи доповнень алгебри. Визначення функції чутливості зводиться в цьому випадку до знаходження похідних від відносин доповнень (або доповнень алгебри і визначника) алгебри по елементах, в яких міститься змінний параметр. У разі, коли змінний параметр входить в елементи доповнень визначника функціонально, чутливість визначається як складна похідна.

Для визначення похідних доповнень алгебри по змінних параметрах вхідних в них елементів скористаємося теоремою, що затверджує, що похідна визначника по якому-небудь елементу рівна доповненню алгебри цього елементу. Доведення теореми засноване на розкладанні визначника по Лапласу

.

Загальний вираз для S-параметров через доповнення алгебри має вигляд (див. підрозділ 7.2)

.

Визначимо функції чутливості параметрів розсіяння до пасивного двополюсника включеному між довільними вузлами до і l (див. малюнок 8.5а)

При отриманні даного і подальших виразів використовуються наступні матричні співвідношення [3]:

,

.

Для електронних схем, БТ, що містять, модельовані ІТУТ (див. підрозділ 2.4.1), визначимо чутливість S-параметров до провідності гілки, що управляє і параметру керованого джерела  включених відповідно між вузлами до, l, і p, q (малюнок 8.5б):

Якщо електронна схема містить ПТ, модельовані ІТУН (див. підрозділ 2.4.1), то чутливість параметрів розсіяння до крутизни S, включеної між вузлами p, q при вузлах управління до, l (малюнок 8.5в), рівна

Чутливість параметрів розсіяння до будь-якого Y-параметру підсхеми (малюнок 8.5г), наприклад буде рівна

При відомій чутливості до параметра елементу підсхеми x (див. малюнок 8.5г) чутливість S-параметров повної схеми до цього параметра, відповідно до поняття складної похідної, виразиться як

.

Останній вираз указує на можливість застосування методу підсхем при аналізі чутливості складних електронних схем.

Знаючи зв'язок параметрів розсіяння з вторинними параметрами електронних схем ( і ін.) і чутливість параметрів розсіяння до зміни елементів схеми, можливе знаходження функцій

чутливості вторинних параметрів до зміни цих елементів. Наприклад, для коефіцієнта передачі по напрузі з i-го на j-й вузол чутливість до зміни параметра x (вважаючи, що і ) отримуємо

.

Аналогічно для ( ) маємо

;

.

Даний спосіб так же ефективно може бути використаний при визначенні чутливості вищих порядків для всіляких характеристик електронних схем. Реалізація отриманих таким чином алгоритмів розрахунку чутливості зводиться до обчислення і перебору відповідних доповнень алгебри, що добре поєднується із знаходженням інших малосигнальних характеристик електронних схем.