Министерство образования РФ.

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет.

Кафедра АиПУ

Отчет

По лабораторной работе № 3

« Анализ дискретных объектов/систем »

Выполнили: Рачеев Р.А.

Смирнов И.А.

Кудряшов В.В.

Факультет: КТИ

Группа: 9322

Проверил: Имаев Д. Х.

Санкт-Петербург

2001

Целью лабораторной работы является изучение численных и имитационных методов исследования дискретных объектов.

Пример 1. Генератор чисел Фибоначчи (1202г.)

Числа Фибоначчи генерируются по следующему алгоритму – каждое последующее число равно сумме двух непосредственно предшествующих. Подразумевается, что числа натуральные.

Разностное уравнение (РУ):

f[k+2]=f[k+1]+f[k]

Для решения РУ необходимо иметь два начальных условия

f[0]=0

f[1]=1

1. Численный метод

РУ являются готовым реккурентным соотношением, позволяющим итеративно вычислять последующие члены:

k=0 f[2]=f[1]+f[0]=1;

k=1 f[3]=f[2]+f[1]=2;

k=2 f[4]=f[3]+f[2]=3;

…

k=8 f[10]=f[9]+f[8]=55;

Чтобы вычислить, например, f[99] необходимо вычислить все предшествующие члены последовательности, что не очень удобно.

2. Имитационный метод

Реализованные РУ в среде Matlab/Simulink изображены на рис.1.

Рис 1.

На дискретных задержках необходимо поставить начальные значения f[0] и f[1]. Теперь меняя Stop Time в настройках Симуляции можно вычислить любой член ряда Фибоначчи.

Например, для Stop Time=10 получим:

что f[10]=55, тот же результат получили при численном методе.

3. Аналитический метод

Перепишем наши РУ в следующем виде:

f[k+2] - f[k+1] - f[k] =0 , f[0] =0, f[1] =1

Имеем однородное РУ 2 порядка.

Форма аналитического решения однородного РУ известна

, где

- корни ХП РУ

ХП для нашего РУ равно

это корни так называемого «золотого сечения».

Коэффициенты - зависят от начальных условий

Для нашего РУ имеем

В итоге получим, что k член последовательности Фибоначчи равен

причем, если учесть, что с ростом k второе слагаемое 0

, при росте k числа Фибоначчи растут как геометрическая прогрессия.

Получим f[10] с помощью этой формулы:

Пример 2. Выплата кредита (экономический объект)

Пусть начальное значение кредита равно p0. Процент на невыплаченную часть кредита за период (год) составляет r*100%. Выплата кредита и процентов производится равными платежами U за n периодов.

p[k] – величина займа оставшегося к выплате после k периода с учетом %. Тогда величина к выплате на k+1 периоде равна

Задача: Найти величину платежа U, который должен платиться банку в течении 5 лет, если кредит составлял 1000 руб., а годовой процент – 20%.

По существу это задача синтеза управляющего воздействия.

Получено РУ первого порядка неоднородное:

Решим эту задачу имитационным путем.

Реализованные РУ в среде Matlab/Simulink изображены на рис.2.

Меняя значение воздействия в виде «ступеньки», находим то значение при котором на 5 шаге симуляции получим что p[5]=0. Это будет при U=463 руб.