Лабораторная работа №5 по ОТУ

Цель: Исследование характеристик систем с обратной связью в корневой, временной и частотной областях. Устойчивость замкнутых систем с отрицательной обратной связью.

Сведения из теории

Обратные связи широко используются для целенаправленного изменения характеристик (свойств) физических элементов и систем управления.

Рассмотрим замкнутую систему (рис.П2.4а) с отрицательной обратной связью.

б)

а)

Рис.П2.4

Путем эквивалентного преобразования исходную структурную схему можно привести к виду, показанному на рис.П2.4б, где:

(4)

Модель системы представляет собой последовательное соединение контура с единичной отрицательной обратной связью и звена с ПФ 1/W₂(s).

Характер собственных движений и устойчивость линейной динамической системы определяются только корнями ХП.

Для системы без контуров, т.е. только с последовательным или параллельным соединением звеньев, множество корней ее ХП является объединением подмножеств корней ХП этих звеньев. Если же соединения звеньев образуют контуры, то корни ХП в общем случае отличаются от корней ХП звеньев.

Запишем ПФ разомкнутой системы в виде:

(5)

где k>0 - коэффициент передачи. Пусть степень полинома числителя не превышает степени полинома знаменателя.

ПФ замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью равна:

(6)

а ее ХП определяется выражением:

(7)

Корни ХП D(s) замкнутой системы в общем случае могут значительно отличаться от корней ХП D₀(s) разомкнутой системы, причем, как это видно из (7), чем выше усиление контура (чем больше коэффициент передачи k), тем больше будет это отличие.

Отдельные корни ХП D₀(s), число которых равно числу корней полинома D(s), после замыкания системы перемещаются на комплексной плоскости по-разному. Подвижность каждого корня зависит от усиления контура на частоте, равной модулю этого корня и от наличия близкого нуля ПФ W₀(s). Здесь можно выделить следующие две группы корней ХП D(s):

- корни, приближенно равные тем нулям ПФ W₀(s) разомкнутой системы (если такие нули, т.е. корни полинома B₀(s) имеются), модули которых принадлежат области частот, где усиление контура велико, т.е.

- корни, приближенно равные тем полюсам ПФ W₀(s) разомкнутой системы (корням ХП D₀(s)), модули которых принадлежат области частот, где усиление контура мало, т.е.

W₀(j)<0.1, L₀()< -20дБ.

Если полиномы ПФ разомкнутой системы имеют нетривиальный общий делитель, т.е. имеются нули ПФ W₀(s), совпадающие с ее полюсами (диполи), то среди полюсов ПФ (s) будут полюсы, в точности равные этим нулям. Т.е. при замыкании системы такие полюсы ПФ W₀(s) остаются неподвижными.

Как известно, общим условием устойчивости линейной системы (затухания собственных движений) является отрицательность действительных частей всех корней ее ХП. Необходимым условием является положительность всех коэффициентов ХП (для систем первого и второго порядков это условие является и достаточным).

Для исследования устойчивости замкнутых систем, порядок ХП D(s) которых n>2, используются алгебраические или частотные критерии.

Так, например, алгебраический критерий Гурвица для систем третьего порядка с ХП

D(s) = d₃ s³ + d₂ s² + d₁ s +d₀ ,

определяет дополнительное условие устойчивости в виде неравенства:

d₁d₂ > d₀d_{3 .}

Если в этом выражении поставить знак равенства, то получим условие, при котором система находится на границе устойчивости (например, значение k = k_кр при котором ХП (7) имеет пару чисто мнимых корней).

Для исследования устойчивости замкнутых систем можно также использовать частотный критерий Найквиста.

Задача 5.1. Для системы с единичной отрицательной обратной связью и ПФ прямого пути, равной

W₀(s) = k/s

показать положение корня ХП D(s) на комплексной плоскости при различных значениях коэффициента передачи k  0.

Положение корня ХП на комплексной плоскости:

K	s
2	-2
5	-5
10	-10
15	-15
20	-20

Ответить на вопросы:

• Какой вид имеет траектория корня системы при изменении k?

При изменение параметра k траектория корня имеет вид прямой с уравнением y = - x

• Как изменяются переходная и частотные характеристики системы при увеличении k?

При увеличении k ЛАЧХ и ЛФЧХ будут смещаться вправо параллельно самим себе, а также изменяется время регулирования процесса, оно обратно пропорционально коэффициенту усиления данной системы. .

Задача 5.2. Для системы из задачи 5.1 с ПФ вида

п

остроить корневой годограф при изменении k от нуля до бесконечности. Привести ПФ замкнутой системы к типовому виду, используемому в задаче 1.6, определить параметры T,  этой ПФ для k = 10, T₁ = 1 с.

W(s)=k/(T²s²+2Ts+1)

Wэ(s)=W₀(s)/(1+W₀(s))=k/(Ts²+s+k)

при k=10, T=T1=1 c, параметры T=1, ξ=0.5.

Ответить на вопросы:

• Как будут располагаться на комплексной плоскости корни ХП D(s) при k < 0?

Правый корень будет располагаться правее правого полюса, а левый – левее левого. (Смотри рисунок выше.)

• Как изменяется переходная характеристика замкнутой системы при изменении коэффициента k в диапазонах 0 < k <  ?

При изменении коэффициента k в диапазоне 0<k<∞ время регулирования практически не меняется, но с увеличением k увеличивается перерегулирование и колебательность процесса.

Задача 5.3. Для той же системы при ПФ в разомкнутом состоянии равной

построить траекторию корней при изменении k.

;

m=0; n=3;

;

Определить критическое значение kкр, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости.

Исследовать временные и частотные характеристики замкнутой системы при k= kкр; k= 0.8kкр; k= 0.5kкр?

Определим kкр системы по критерию устойчивости Гурвица для полинома третьего порядка , , следовательно kкр=1.5.

Исследование системы при k_кр, 0.8 k_кр, 0.5 k_кр :

kкр	si	wср	tр
kкр	s1=-1.5;s2,3=+/-0.7j	0.96	
0.8kкр	s1=-1.44;s2,3= -0.02+/-0.64j	0.87	99.2
0.5kкр	s1=-1.33;s2,3= -0.08+/-0.2j	0.707	32.8

Корни ХП были рассчитаны в программном продукте MathCad.

Ответить на вопросы:

• Какой вид имеют ЧХ системы в разомкнутом состоянии при k = k_кр?

• Чему равны запасы устойчивости замкнутой системы по амплитуде L и по фазе  при k = 0.5k_кр; k = 0.8k_кр?

Запасы устойчивости:

kкр	 L	 
0.5kкр	0	0
0.8kкр	-12.04	-23.05

 L – Запас по модулю

  – Запас по фазе

Задача 5.4. В системе из задачи 5.3 ввести в прямую цепь последовательно дополнительное звено с ПФ W(s) = s + 1. Для характеристического полинома замкнутой системы, имеющего вид:

построить корневой годограф при изменении k в диапазоне 0  k < , приняв  = T₁ = 1с.

D(s)= 2s³+3s²+(s+1)+k =T₁ = 1;

W(s)=k(s+1)/( 2s³+3s²+s)

Ответить на вопросы:

• Чем объясняется неподвижность одного из корней ХП?

W(s)=k(s+1)/( 2s³+3s²+s) ПФ разомкнутой системы содержит диполь, поэтому корень ХП равный нулю ПФ остаётся неподвижным.

• Как проявляется на временных и частотных характеристиках замкнутой системы наличие неподвижного корня ХП?

на временных: график h(t) смещен по оси Y на постоянную величину, так как в состав h(t) входит величина e^st, где s –неподвижный корень.

• Как объяснить характер траекторий подвижных корней ХП D(s) при изменении k?

При увеличении коэффициента передачи k корни ХП замкнутой системы все больше удаляются от корней ХП разомкнутой.

Задача 5.5 Принять ПФ W(S) в виде: .

Используя методику оценки подвижности корней, использующую ЛАЧХ разомкнутой системы L0(ω), определить области частот Ω1 (усиление контура велико), Ω2 (усиление контура мало) и приближённые значения отдельных корней ХП замкнутой системы, которые принадлежат этим областям. Найти точные значения корней ХП и оценить эффективность методики для рассматриваемого примера.

она имеет нуль и четыре полюса: . Следовательно, на частоте наклон асимптотической ЛАЧХ меняется на +20дБ/дек, а на частотах , и - на -20дБ/дек. (Наклон асимптотической ЛАЧХ был установлен исходя из оценки подвижности корней:

• корни, приближенно равные тем нулям разомкнутой системы, модули которых принадлежат области частот, где усиление контура велико, т.е

| W(jw) | > 10, L(w) > 20 дБ

• корни, приближенно равные тем полюсам ПФ разомкнутой системы, модули которых принадлежат области частот, где усиление контура мало, т.е.

| W(jw) | < 0.1, L(w) < - 20 дБ

На рисунке изображена асимптотическая ЛАЧХ LP(ω). По ней можно заключить, что ХП D(S) замкнутой системы будет иметь корень , так как на частоте усиление контура больше 20дБ. Кроме того, D(S) будет иметь корень , так как на частоте усиление контура меньше -20дБ.

Как показывают расчёты, точные корни ХП замкнутой системы равны:

. Как видно из точных корней с помощью методики оценки подвижности корней, использующей ЛАЧХ разомкнутой системы LР(ω), можно достаточно точно определить корни ХП D(S) замкнутой системы.