Степенная модель
Степенная
модель нелинейной парной регрессии
имеет следующий вид: y=
Для нахождения оцениваемых параметров a и b логорифмируем функцию степенной регрессии, отсюда lgy=lga+b*lgx, lgy=Y, lga=A, lgx=X, отсюда Y=A+b*X
С помощью метода наименьших квадратов, выводим формулы для вычисления неизвестных параметров, которая имеет вид:
a=
b=
отсюда
A=(2,116459*4,415544-4,44826*2,100806)/(4,415544-4,413387)=0,178991
B=(4,44826-2,116459*2,100806)/ (4,415544-4,413387)=0,92225
y |
x |
Y=lny |
Y^2 |
X=lnx |
X^2 |
YX |
Y(т) |
Y(т)-Y |
|Y(т)-Y| |
|Y(т)-Y|/Y |
|
150 |
140 |
2,176091 |
4,735373 |
2,146128 |
4,605866 |
4,67017 |
2,158257 |
-0,01783 |
0,017834 |
0,008195 |
|
137 |
130 |
2,136721 |
4,565575 |
2,113943 |
4,468756 |
4,516906 |
2,128575 |
-0,00815 |
0,008146 |
0,003812 |
|
130 |
125 |
2,113943 |
4,468756 |
2,09691 |
4,397032 |
4,432749 |
2,112866 |
-0,00108 |
0,001077 |
0,00051 |
|
147 |
145 |
2,167317 |
4,697264 |
2,161368 |
4,671512 |
4,68437 |
2,172312 |
0,004995 |
0,004995 |
0,002305 |
|
120 |
115 |
2,079181 |
4,322995 |
2,060698 |
4,246476 |
4,284564 |
2,079469 |
0,000288 |
0,000288 |
0,000138 |
|
142 |
139 |
2,152288 |
4,632345 |
2,143015 |
4,592512 |
4,612386 |
2,155386 |
0,003098 |
0,003098 |
0,001439 |
|
149 |
147 |
2,173186 |
4,722739 |
2,167317 |
4,697264 |
4,709984 |
2,177799 |
0,004613 |
0,004613 |
0,002123 |
|
123 |
120 |
2,089905 |
4,367703 |
2,079181 |
4,322995 |
4,345292 |
2,096516 |
0,00661 |
0,00661 |
0,003163 |
|
131 |
123 |
2,117271 |
4,482838 |
2,089905 |
4,367703 |
4,424896 |
2,106406 |
-0,01087 |
0,010866 |
0,005132 |
|
119 |
110 |
2,075547 |
4,307895 |
2,041393 |
4,167284 |
4,237006 |
2,061665 |
-0,01388 |
0,013882 |
0,006688 |
|
111 |
105 |
2,045323 |
4,183346 |
2,021189 |
4,085206 |
4,133985 |
2,043032 |
-0,00229 |
0,002291 |
0,00112 |
|
139 |
135 |
2,143015 |
4,592512 |
2,130334 |
4,538322 |
4,565337 |
2,143691 |
0,000676 |
0,000676 |
0,000315 |
|
125 |
122 |
2,09691 |
4,397032 |
2,08636 |
4,352897 |
4,374909 |
2,103136 |
0,006226 |
0,006226 |
0,002969 |
|
135 |
130 |
2,130334 |
4,538322 |
2,113943 |
4,468756 |
4,503405 |
2,128575 |
-0,00176 |
0,001759 |
0,000826 |
|
107 |
101 |
2,029384 |
4,118399 |
2,004321 |
4,017304 |
4,067537 |
2,027476 |
-0,00191 |
0,001908 |
0,00094 |
|
115 |
113 |
2,060698 |
4,246476 |
2,053078 |
4,215131 |
4,230774 |
2,072442 |
0,011744 |
0,011744 |
0,005699 |
|
124 |
119 |
2,093422 |
4,382414 |
2,075547 |
4,307895 |
4,344995 |
2,093164 |
-0,00026 |
0,000258 |
0,000123 |
|
133 |
129 |
2,123852 |
4,510746 |
2,11059 |
4,454589 |
4,482579 |
2,125482 |
0,00163 |
0,00163 |
0,000768 |
|
138 |
136 |
2,139879 |
4,579083 |
2,133539 |
4,551988 |
4,565515 |
2,146647 |
0,006768 |
0,006768 |
0,003163 |
|
148 |
144 |
2,170262 |
4,710036 |
2,158362 |
4,658529 |
4,684211 |
2,16954 |
-0,00072 |
0,000721 |
0,000332 |
|
110 |
107 |
2,041393 |
4,167284 |
2,029384 |
4,118399 |
4,142769 |
2,05059 |
0,009197 |
0,009197 |
0,004505 |
|
132 |
128 |
2,120574 |
4,496834 |
2,10721 |
4,440334 |
4,468495 |
2,122365 |
0,001791 |
0,001791 |
0,000845 |
|
146 |
142 |
2,164353 |
4,684423 |
2,152288 |
4,632345 |
4,658311 |
2,163939 |
-0,00041 |
0,000414 |
0,000191 |
|
148 |
145 |
2,170262 |
4,710036 |
2,161368 |
4,671512 |
4,690734 |
2,172312 |
0,002051 |
0,002051 |
0,000945 |
|
126 |
121 |
2,100371 |
4,411556 |
2,082785 |
4,337995 |
4,374621 |
2,099839 |
-0,00053 |
0,000531 |
0,000253 |
|
3285 |
3171 |
52,91148 |
112,032 |
52,52016 |
110,3886 |
111,2065 |
|
|
|
0,0565 |
Сумма |
131,4 |
126,84 |
2,116459 |
4,481279 |
2,100806 |
4,415544 |
4,44826 |
|
|
|
|
Ср.знач. |
|
|
4,4794 |
|
4,413387 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
r |
A |
F |
Э |
|
|
|
|
|
|
0,178991 |
0,92225 |
0,98794 |
0,226 |
936,3406 |
0,915429 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,976025 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,98794 |
|
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,976025 |
|
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,974983 |
|
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,006999 |
|
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
Регрессия |
1 |
0,045863 |
0,045863 |
936,3406 |
3,88E-20 |
|
|
|
Остаток |
23 |
0,001127 |
4,9E-05 |
|
|
|
|
|
Итого |
24 |
0,04699 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 95,0% |
Верхние 95,0% |
Y-пересечение |
0,178991 |
0,063332 |
2,826222 |
0,009575 |
0,047978 |
0,310003 |
0,047978 |
0,310003 |
X=lnx |
0,92225 |
0,030139 |
30,59968 |
3,88E-20 |
0,859902 |
0,984598 |
0,859902 |
0,984598 |
Полученное значение коэффициента регрессии b=0,92225 показывает, что при увеличении фактора х на 1 единицу от своего среднего уровня, показательный признак у увеличится на 0,92225 единиц от своего среднего уровня.
Найдем коэффициент аппроксимации:A=
А=1/25*0,0565*100=0,226
Полученное значение аппроксимации А=0,226 меньше допустимого значения. Это означает, что линейную модель можно считать адекватной.
Найдем коэффициент критерия Фишера: F=
F=(0,976025/(1/0,976025))*23=936,3406
Полученное значение F критерия Фишера F=936,3406 больше чем табличное значение (F=4,24), так что модель можно считать статистически значимой.
Найдем коэффициент эластичности: Э=
Э=0,92225*2,100806/2,116459=0,915429
Полученное значение коэффициента эластичности Э=0,915429 показывает, что при увеличении фактора х на 1% от своего среднего уровня, результативный показатель у увеличится на 0,915429 от своего среднего уровня.
Найдем значение коэффициента корреляции: r=
r=
=0,98794
Полученное значение коэффициента корреляции r=0,98794 показывает, что связь между переменными х и у тесная.