
- •1. Оцінка параметрів лінійної регресії методом найменших квадратів
- •2. Коефіцієнт кореляції та детермінації
- •3. Властивості оцінок параметрів лінійної регресії
- •4. Перевірка лінійної регресії на адекватність (значимість) за допомогою f-критерію Фішера.
- •5. Перевірка значимості параметрів регресійної моделі за допомогою t-критерію Ст’юдента
- •6. Коефіцієнт еластичності. Довірчі інтервали (інтервали довіри). Прогнозування за допомогою моделі парної лінійної регресії
- •7.Нелінійна регресія
- •8. Поняття мультиколінеарності, основні її ознаки та наслідки
- •9. Методи усунення мультиколінеарності
- •10. Алгоритм Фарара-Глобера
- •11. Поняття гетероскедастичності та її наслідки
- •12. Тест Голдфельда-Квандта
- •13. Знаходження оцінок параметрів моделі за допомогою узагальненого методу найменших квадратів (метод Ейткена)
- •14. Поняття автокореляції та її наслідки
- •15. Критерій Дарбіна-Уотсона
- •16. Оцінювання параметрів економетричної моделі узагальненим методом найменших квадратів при наявності автокореляції
1. Оцінка параметрів лінійної регресії методом найменших квадратів
Існують
різні методи знаходження оцінок
параметрів
.
Розглянемо один із них: метод найменших
квадратів.
Суть
методу: оцінки парламентів
знаходять так, щоб сума квадратів
відхилень (помилок) між заданими
значеннями змінної у і розрахунковими
була найменшою. Похибка між заданими
значеннями і розрахунковими має вигляд:
Функція квадрату похибок має вигляд:
Функція
залежить
від змінних параметрів
,
для знаходження її найменшого значення
потрібно знайти критичні її точки. Для
цього потрібно знайти частинні похідні,
прирівняти їх до 0 і знайти розв’язок
отриманої системи рівнянь
(3).
Отримана система (3) є лінійною системою рівняння для знаходження оцінок параметрів (4)
Введемо позначення:
Система (4) в матричному вигляді:
(5)
Система (5) називається нормальною системою рівняння для рівняння лінійної регресії.
Матрицю
називають матрицею спостереження. Вона
завжди має симетричний вигляд.
Із рівняння (5) отримаємо оцінки параметрів лінійної регресії:
(6)
Зауваження:
оцінки параметрів лінійної регресії
методами найменших квадратів знаходять
при умові, що випадкова складова
економетричної моделі
задовольняє певним умовам.
Оцінки параметрів моделі можна обчислити за наступними формулами (7):
– величина,
яка показує залежність змінної у до х
по відношенню до своїх середніх значень.
-
визначає середній квадрат відношень
значень змінної х по відношенню до своїх
середніх значень.
Оцінки
параметра
можна обчислити за формулою:
(8)
Зауваження:
Для оцінки параметрів знайдені методом найменших квадратів, тоді сума всіх похибок (залишок відхилень) дорівнює 0.
Вибіркова
регресійна пряма завжди проходить через
середню точку (
,
).
З
вибіркового регресійного рівняння:
отримуємо значення
рівне величині на яку збільшується
залежна змінна у при збільшенні незалежної
змінної х на 1.
Величина називається перетином, а – нахилом рівняння регресії.
2. Коефіцієнт кореляції та детермінації
Якщо побудована вибіркова регресійна модель, то виникають наступні задачі:
Чи в дійсності існує лінійний зв'язок між змінними х та у.
Наскільки отримана модель адекватна (відповідає) дійсній моделі.
Наскільки точно знайдені оцінки параметрів моделі.
Як можна здійснити прогноз за побудованої регресійною моделлю.
Кількісним критерієм, який оцінює тісноту зв’язку між х та у є вибірковий коефіцієнт кореляції, який обчислюється за формулою:
Значення
коефіцієнта кореляції знаходиться в
межах від
.
Якщо
,
то вважають, що між змінними у та х існує
прямий зв'язок, якщо
,
то зворотній (обернений зв'язок).
Якщо
,
тоді змінна х істотно не впливає на
змінну у. В цьому випадку потрібно
вибрати (знайти) іншу змінну, яка більш
істотно впливає на змінну у.
Якщо
,
тоді вважають, що між х
та у
існує тісний зв'язок (залежність).
Для встановлення чинності зв’язку між змінними х і у та перевірки на адекватність (значимість) моделі парної регресії реального економічного процесу використовують вибірковий коефіцієнт детермінації, який обчислюється за формулою:
Якщо
,
то вважають, що побудована регресійна
модель неадекватна дійсній моделі
(дійсному процесу).
Якщо
,
то вважають, що отримана модель адекватна
дійсній моделі, тобто є значимою.