20.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Принцип наложения решений.
Имеет вид: y’’+ py’+qy= r(x), где p и q- некоторые дейтсвительные числа r(x) –некоторая функция , если r(x) =0,то ур: y’’+py’+qy=0 называется однородным, в противном случае при r(x) не равным 0, урн аз неоднородным. Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y0(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения: y(x)=y0(x)+y1(x) Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как
21. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с полиномом n-й степени в правой части.
22. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с показательной функцией в правой части.
23 Функции двух переменных.
Многим явлениям в том числе и экономическим присуща многофакторая зависимость, поэтому необходимо введение понятия функции нескольких переменных.
Определение- пусть имеется n- переменных величин и каждому набору их значений х1, х2 …..Xn из множества х соответствует вполне определенное значение величины Z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z=f( x1;x2;…Xn).все эти х-аргументы, х принадлежит Z. Z- функция, f- буква, обозначающая закон соответствия . При изучении ф-ции нескольких переменных используется уже знакомый мат. Аппарат на основе ф—ии одной переменной , а именно любой ф-ции Z=f(x;y) можно поставить в соответсвие пару ф-ий одной переменной х=х0 следовательно z=f(x0;y) так же и с у! график- в трехмерном пространстве. Линии уровня ф-ции 2-ух переменных z=f(x;y) –это множетсво точек на плоскости, таких что знач. Ф-ции во всех этих точках одно и то же =С, число С- уровень
24. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Определении: это предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращении рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю( если этот предел существует)
1. Частные приращения : f’(x0)= lim (стремящийся дельта x к нулю) дробь наверху дельта y на дельта х.
Х в дельта Х, У в дельта У. Z=f( х+дельта х, у+ дельта у)
2.Частные производные Это предел отношения соответствующего частного приращения ф-ции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последней к нулю Z’x= lim (стремящийся дельта x к нулю) дробь наверху f( x+дельта х;y) – f(x;y) / дельта х. Все правила дифференцирования сохраняются.
Пусть в интервале (a, b) задана дважды дифференцируемая функция y = f(x), где x — независимая переменная.Фиксируем приращение dx = Δx независимой переменной x, т.е. будем считать первый дифференциал dy = f'(x) dх функцией только переменной x. Дифференциал от первого дифференциала, при условии, что повторное приращение независимой переменной x совпадает с первоначальным, называется вторым дифференциалом функции f(x) в точке x и обозначается d2 f(x). Дифференциалом n–го порядка называется дифференциал от дифференциала (n − 1)–го порядка dn f(x) = d (d(n − 1) f(x)). Формула для вычисления дифференциала n–го порядка dn f(x) = f(n) (x) dxn .
25. Необходимые условия экстремума функции двух переменных.
Для одной
1.Напоминание необходимые условия:найти производную , приравнять к нулю, найти стационарные точки: перегибы, минимумы, максимумы.
2. достаточное условие: y’’; посчитать в каждой из стац. Точек, если y’’>0=min и наоборот.
Для двух:
1 Необбходимое условие экстремума dz/dx=0 и dz/dy=0 - стационарные точки
2 Достаточное условие –точки экстремума: А – Z’’xx; B- Z’’y;Z’’yx; C= Z’’ yy
D=AC- B*B, если D >0,то экстремумы есть , причем если А больше нуля- то минимум, если А меньше –то максимум. Если D<0 , то экстремума нет, Если D=0 , то непонятно
Найти все частные производные 2-го порядка для функции Z= arctg x/y+1
26. Достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Для одной
1.Напоминание необходимые условия:найти производную , приравнять к нулю, найти стационарные точки: перегибы, минимумы, максимумы.
2. достаточное условие: y’’; посчитать в каждой из стац. Точек, если y’’>0=min и наоборот.
Для двух:
1 Необбходимое условие экстремума dz/dx=0 и dz/dy=0 - стационарные точки
2 Достаточное условие –точки экстремума: А – Z’’xx; B- Z’’y;Z’’yx; C= Z’’ yy
D=AC- B*B, если D >0,то экстремумы есть , причем если А больше нуля- то минимум, если А меньше –то максимум. Если D<0 , то экстремума нет, Если D=0 , то непонятно
Найти все частные производные 2-го порядка для функции Z= arctg x/y+1
27. Числовые ряды – основные понятия: определение числового ряда, сходимость и сумма ряда.
Ряды : числовые и функциональные: степенные и тригонометрические( Ряды Фурье)
Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел U1;U2;…Un, соединенная знаком сложения. Числовой ряд задан, если задана формула его n-ого члена.
Частичные суммы ряда: S=U1; S2=U1+U2; Sn= U1+U2+…Un
Ряд называется сходящимся ,если существует конечный предел его частичных сумм ( limSn=S), где S- сумма ряда, а лимит n стремится к бесконечности. В противном случае ряд -расходящийся
28. Эталонные ряды: геометрический ряд, гармоничный ряд и условия их сходимости.
Гармонический:
1+ ½+1/3+ …+1/n
– расходящийся
,
название которого происходит от того,
что каждый член ряда, начиная со второго,
есть среднее гармоническое двух соседних
с ним членов ряда:
Необходимый признак: Если ряд сходится , то предел его общего члена при n стремящимся к бесконечности равен 0 , следствие-если пределел не равен нулю- расходится . Данная теорема выражает необходимый, но недостаточный признак сходимости . Если предел равен =0,это еще не значит, что ряд сойдется.
Достаточные признаки: 1. Признак сравнения, 2. Признак Даламбера, 3. Интегральный, 4. Коши
Так называется ряд (бесконечная сумма), члены которого образуют геометрическую прогрессию с первым членом а0 и знаменателем прогрессии, равным q.
Если |q| < 1, то существует предел суммы n первых членов этой прогрессии при неограниченном увеличении количества этих членов n:
,
В этом случае говорят о бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.
29. Необходимый признак сходимости числового ряда.
Необходимый признак: Если ряд сходится , то предел его общего члена при n стремящимся к бесконечности равен 0 , следствие-если пределел не равен нулю- расходится . Данная теорема выражает необходимый, но недостаточный признак сходимости . Если предел равен =0,это еще не значит, что ряд сойдется.
Достаточные признаки: 1. Признак сравнения, 2. Признак Даламбера, 3. Интегральный, 4. Коши
30. Свойства сходящихся числовых рядов.
1⁰. Сходимость ч.р. не зависит от отбрасывания конечного числа членов.
2.При
условии, что ряд
сходится и его
сумма составляет S
можно заключить, что ряд
сходится и имеет
сумму cS
3.При
условии, что
сходятся и имеют
суммы
соответствено,
можно заключить, что
сходится и имеет
сумму
31. Свойства сходящихся числовых рядов.