14.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Уравнение вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Решить уравнение- значит найти семейство кривых, отвечающих заданному полю направлений. Диф. Ур-е первого порядка называется неполным, если функция явно зависит либо только от х, либо от у Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным). ОДУ- обыкновенные дифференциальные уравнения , в которых входят задачи только с одной переменной. Уравнения в частных производных- содержат производные по различным переменным

15. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Диф ур-е первого порядка наз однородным, если оно может быть представлении в виде : у’=g(y/x), где g- некоторая функция (одной переменной). Понятие однородного диф. Ур-я связано с однородными фукнциями.

16. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид : y’+f(x)y=g(x) , где f(x) и g(x)-некоторые (непрерывные) функции переменной х. В случае, когда функция g(x) тождественно равно нулю , уравнение называется однородным, в противном- неоднородным. Один из возможных способов решения уравнения : будем искать решение в виде y=u(x) v(x) (тем самым искомыми функциями становятся u(x) и v(x) соответственно, одна из которых может быть выбрана произвольно, другая- должна определять уравнение.

17. Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши.

В некоторых случаях решений диф ур-я второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух диф ур-й первого (тогда говорят, что диф ур-е второго порядка допускает понижение порядка). Если диф ур-е имеет вид : y’’=f(x), то оно решается последовательным интегрированием. Если в запись уравнения не не входит искомая ф-я y(x), т.е оно имеет вид G(x;y’;y’’)=0, то такое ур можно решить ,найдя сначала вспомгательную ф-ию z=y’

18.Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений.

Свойства:

1. Если y1(x) и y2(x)— два решения линейного однородного дифференциального уравнения

y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0

то любая их линейная комбинация y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) является решением этого однородного уравнения.

2. Если y1(x) и y2(x) — два решения линейного неоднородного уравнения L(y) = f(x) , то их разность y(x) = y1(x) − y2 (x) является решением однородного уравнения L(y) = 0 .

3. Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма любого фиксированного (частного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.

4. Если y1(x) и y2(x) — решения линейных неоднородных уравнений L(y) = f1(x) и L(y) = f2(x) соответственно, то их сумма y(x) = y1(x) + y2(x) является решением неоднородного уравнения L(y) = f1(x) + f2(x).

19. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Имеет вид: y’’+ py’+qy= r(x), где p и q- некоторые дейтсвительные числа r(x) –некоторая функция , если r(x) =0,то ур: y’’+py’+qy=0 называется однородным, в противном случае при r(x) не равным 0, урн аз неоднородным. Решение: линейной комбинацией ф-ий y1(x) и y2(x) с коэффициентами C1 и C2 называется выражение вида C1y1(x)+ C2y2(x). Если линейная комбинация функций C1y1(x)+ C2y2(x) равна нулевой сумме только тогда, когда коэфф. C1 и C2 равны нулю, то ф-ции y1 и y2 называются линейно независимыми,в противном случае- линейно зависимыми. Для решения нужно составлять характеристические уравнения.