4. Элементы комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания).

При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики — науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Перестановки — это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Р_п = п!

Размещения — комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком.

Сочетания — неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов).

Вариант упорядочивания данного множества называется перестановкой Например, есть множество, состоящее из 3 элементов - А, В, и С. Пример перестановки - СВА. Число всех перестановок из n элементов Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением. Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием. Приведем до кучи формулу соотношения между перестановками, размещениями и сочетаниями  

5. Теорема сложения вероятностей несовместных и совместных событий.

Несовместных событий: Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий   равна сумме вероятностей этих событий

Совместных событий: Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB).

6. Элементарные события, полная группа событий. Противоположные события, вероятность противоположных событий.

В теории вероятностей элементарные события или события-атомы  это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Множество всех элементарных событий обычно обозначается (....).

Пусть (....) есть вероятностное пространство. Любое разбиение множества (....) элементами  называется полной группой событий.

По́лной гру́ппой собы́тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенногослучайного эксперимента непременно произойдет одно из них. Теорема. Сумма вероятностей событий А₁ , А₂ , ..., А_n , образующих полную группу, равна единице: Р (A₁) + Р (А₂) + ... + Р (А_n) = 1.

Противоположные события. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

7. Независимые события, умножение вероятностей независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: Р_A (В) = Р (В).

Отсюда Р_B (A) = Р (A), т. е. условная вероятность события A в предположении что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события В. Итак, если событие В не зависит от события A, то событие A не зависит от события В; это означает, что с в о й с т в о   н е з а в и с и м о с т и   с о б ы т и й в з а и м н о. Для независимых событий теорема умножения вероятностей имеет вид:

Р (АВ) = Р (А) Р (В), т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Несколько событий называют независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных. Например, если события A₁, A₂, А₃, независимы в совокупности, то независимы события A₁ и А₂, А₁ и А₃, А₂ и A₃; А₁ и A₂A₃, A₂ и A₁A₃, А₃ и A₁A₂. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие-либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.

С л е д с т в и е. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: Р (А₁А₂ ... А_n) = Р (А₁) Р (А₂) ... Р (А_n).

Вероятность появления хотя бы одного события. Теорема: вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий А₁, А₂,…, А_п равна р (А) = 1 — q₁q₂…q_n , где q_i — вероятность события , противоположного событию А_i .