1.Производная функции

Предел отношения (если он существует) приращения функции Δy к приращению аргумента Δx при стремлении приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке x0, т.е.

f’(x)=

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла α ), проведенной к графику функции в точке с абсциссой x0

f’(x)=k=tgα

2.Производная суммы и т.Д

Производная суммы (разности) функций

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

(u+v)’=u’+v’

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и v(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и (uv)’=u’v+uv’

Производная произведения двух функций не равна произведению производных этих функций.

Производная частного функций.( )’= 4.Логарифмическое диференцирование

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:

Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.

Отсюда видно, что искомая производная равна

8// Теорема Роля: Если ф-ия у=f(x) непрерывна и диференцируема на интервале (а,b) и принимает равное значение на концах интервала,то по крайней мере в одной внутренней точке а<E<b, f(x)=0.

Теорема Ферма: Если ф-ия у=f(x) непрерывна и деференцируема на интервале (a,b) и внутри интервала достигает наибольшего и наименьшего значения в точки х₀, то производная от функции f(x₀) ,будет равна 0

Теорема Лагранжа: Если ф-ия у=f(x) на отрезке [a,b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то внутри этого интервала есть хотя бы одна точка E, для которой выполняется условие f(b)-f(a)/ b-a=f’(E)

Теорема Коши: Если 2 ф-ии f(x) и ῳ(x) непрерывны и диференцированы на отрезке [a,b],причем ῳ’(x) нигде на отрезке не превращается в ноль, то внутри отрезка [a,b] найдется такая точка х=с, что выполняется соотношение =

9.Экстремумы функций

Необходимое условие: для того чтобы ф-ия имела экстремум в точке х₀, необходимо чтобы в точке х₀ производная f’(x₀)=0, либо не существовала.

Достаточные условия: 1)Если при переходе через критическую точку производная меняет знак,то в данной точке экстремум. 2)Если у=f(x) дважды диференцируема на интервале (а,б) в том числе и в критической точке,то если 2 производная >0-минимум или < 0-максимум

10. Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.

Функция F, заданная на некотором промежутке D, называется первообразной функции f, заданной на том же промежутке, если для любого F’(x)=f(x).

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как , Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение где С- произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,

а, k, C - постоянные величины.

• 

• 

• 

•