6)Електричне поле нескінченної рівномірно зарядженої площини.

Розглянемо нескінченну площину рівномірно заряджену електричним зарядом з поверхневою густиною заряду :

. (3.49)

Поверхневою густиною електричного заряду називається фізична величина рівна електричному зарядові одиниці площі поверхні по якій розподілений заряд. У випадку рівномірного розподілу електричного заряду q по поверхні S поверхнева густина заряду рівна:

Рис.3.9

. (3.50)

В якості замкненої поверхні виберемо циліндричну поверхню з площею основи вісь якої перпендикулярна до зарядженої площини, як зображено на рис.3.9.

Застосуємо теорему Остроградського-Гауса

. (3.51)

Інтеграл по замкненій поверхні S запишемо як суму трьох інтегралів. Сумарний заряд, який охоплений поверхнею S рівний зарядові круга площею S_осн., який вирізує циліндр S на зарядженій площині. Виходячи із формули (3.50), цей заряд рівний

(3.52)

Підставимо (3.52) в (3.51):

Оскільки і , то

. (3.53)

Інтеграли по поверхнях основ рівні:

(3.54)

Підставимо (3.54) в (3.53):

. (3.55)

Із формули (3.55) випливає, що напруженість електричного поля, створеного нескінченною рівномірно зарядженою площиною не залежить від відстані до площини, тобто є однаковою в усіх точках простору по обидва боки від зарядженої площини. Це електричне поле є однорідним. Його силові лінії перпендикулярні до зарядженої площини.

7)Робота сил електричного поля. Теорема про циркуляцію вектора напруженості електричного поля. Потенціал

Н

Рис.3.10

ехай електричний заряд здійснює елементарне переміщення під дією сили електричного поля напруженістю , як зображено на рис. 3.10. Тоді виконана полем елементарна робота рівна

. (3.56)

Запишемо формулу напруженості електричного поля

. (3.57)

Визначимо з цієї формули силу

. (3.58)

Підставимо вираз (3.58) у формулу (3.56)

, (3.59)

або

. (3.60)

Проінтегрувавши вираз (3.59), одержимо формулу роботи при переміщенні електричного заряду в електричному полі з напруженістю вздовж траєкторії

. (3.61)

Нехай точковий електричний заряд здійснює переміщення в полі іншого точкового електричного заряду , тоді модуль напруженості електричного поля створеного зарядом рівний

. (3.62)

З рисунка одержимо

. (3.63)

Підставимо (3.62) і (3.63) у вираз (3.60)

.

Проінтегруємо цей вираз

. (3.64)

Отже робота сил електричного поля не залежить від форми траєкторії, а залежить лише від положення початкової і кінцевої точки. Тому електростатичне поле є потенціальним. При переміщенні електричного заряду по замкненій траєкторії точки 1 і 2 будуть співпадати тому . При цій умові, як випливає із формули (3.64) робота буде дорівнювати нулеві. Тоді формула (3.61) набере вигляду

. (3.65)

Інтеграл по замкнутому контуру від скалярного добутку вектора напруженості електричного поля на елементарний вектор довжини контуру називається циркуляцією вектора напруженості електричного поля. Співвідношення (3.10) – це теорема про циркуляцію вектора напруженості електричного поля: циркуляція вектора напруженості електростатичного поля по замкнутому контуру рівна нулю.

Робота потенціальних сил рівна зміні потенціальної енергії з протилежним знаком

. (3.66)

З порівняння формул (3.64) і (3.65) можна одержати формулу потенціальної енергії взаємодії двох точкових зарядів:

. (3.67)

Для характеристики потенціального поля можна використати поняття потенціалу.

П

Рис.3.11

отенціалом електричного поля називається скалярна фізична величина рівна потенціальній енергії одиничного позитивного точкового заряду вміщеного в дану точку поля

. (3.68)

Одиницею вимірювання потенціалу в системі одиниць є вольт. 1В – це потенціал такої точки поля, в якій точковий позитивний заряд величиною 1Кл має потенціальну енергію 1Дж.

Підставивши вираз (3.67) в (3.68) отримаємо формулу потенціалу точкового заряду

. (3.69)

На рис.3.11.зображено залежність потенціалу точкового електричного заряду від відстані графічно.

Продиференціюємо вираз (3.68)

. (3.70)

Оскільки , то

. (3.71)

Підставимо (3.59) в (3.71), отримаємо:

. (3.72)

Проінтегруємо вираз (3.72) вздовж кривої при переміщенні із точки 1 в точку 2

. (3.73)

Формула (3.73) визначає зв’язок між різницею потенціалів і напруженістю електричного поля.

Підставимо вираз (3.73) у формулу (3.61). Отримаємо зв’язок між роботою при переміщенні електричного заряду в електричному полі та різницею потенціалів

. (3.74)

Нехай точковий електричний заряд переміщується під дією електричного поля з напруженістю вздовж осі . Тоді згідно із формулою (3.72) одержимо

, (3.75)

де – проекція вектора на вісь .

Із формули (3.75) одержимо

.

Якщо потенціал електричного поля є функцією не лише координати а також і координат і , то в останній формулі слід використати поняття частинної похідної. Тоді формула набере вигляду

. (3.76)

подібні формули можна отримати і при переміщенні заряду вздовж осей координат і :

, (3.77)

. (3.78)

Виразимо вектор напруженості електричного поля через його проекції на осі координат

, (3.79)

де – орти.

Підставимо (3.76), (3.77) і (3.78) у формулу(3.79)

. (3.80)

Формула (3.80) визначає зв’язок між напруженістю електричного поля і потенціалом. Цю формулу можна представити в більш компактному вигляді використовуючи поняття векторного диференціального оператора градієнт

. (3.81)

Використовуючи (3.81) формулу (3.80) можна представити у вигляді

(3.82)

Нехай точковий електричний заряд взаємодіє з іншими точковими електричними зарядами . Тоді його потенціальна енергія рівна сумі потенціальних енергій взаємодії з кожним із зарядів

. (3.83)

Поділимо рівність (3.83) на

. (3.84)

Використовуючи означення потенціалу (3.68) формулу (3.83) можна записати у вигляді

. (3.85)

Із формули (3.85) випливає, що потенціал електричного поля, створеного системою зарядів, рівний сумі потенціалів полів, створених кожним із зарядів зокрема.

Д

Рис.3.12

ля графічного зображення електричних полів поряд із силовими лініями використовуються еквіпотенціальні поверхні. Еквіпотенціальною поверхнею називається така поверхня, в кожній точці якої потенціал електричного поля має однакове значення. Тобто еквіпотенціальна поверхня - це поверхня однакового потенціалу. Силові лінії електричного поля перпендикулярні до еквіпотенціальних поверхонь. На рис.3.12 зображено силові лінії та еквіпотенціальні поверхні точкового позитивного заряду.