- •1)Електричний заряд. Електричне поле. Закон Кулона. Напруженість та індукція електричного поля. Принцип суперпозиції електричних полів
- •2)Потік вектора напруженості та індукції електричного поля. Теорема Остроградського-Гауса
- •3,4) Електричне поле рівномірно зарядженої кулі.
- •5) Електричне поле нескінченої рівномірно зарядженої прямої.
- •6)Електричне поле нескінченної рівномірно зарядженої площини.
- •7)Робота сил електричного поля. Теорема про циркуляцію вектора напруженості електричного поля. Потенціал
- •8)Потенціал поля рівномірно зарядженої кулі.
- •9)Потенціал поля нескінченної рівномірно зарядженої прямої
- •10)Потенціал поля нескінченої рівномірно зарядженої площини
- •11)Провідники в електричному полі. Електроємність відокремленого провідника
- •12) Конденсатори. Електроємність конденсатора. З’єднання конденсаторів
- •14)Електричний струм. Закон Ома для ділянки кола. Закон Ома в диференціальній формі
- •15)Робота і потужність струму. Закон Джоуля-Ленца
- •16)Магнітне поле і його характеристики. Дія магнітного поля на контур зі струмом. Принцип суперпозиції. Класифікація магнетиків
- •17)Закон Біо-Савара-Лапласа. Магнітне поле прямолінійного та колового струмів
- •19)Дія магнітного поля на струм; сила Ампера
- •20)Магнітний потік. Теорема Гауса для магнітного поля
- •21)Явище електромагнітної індукції. Закон Фарадея. Правило Ленца
- •22)Магнітне поле в речовині
2)Потік вектора напруженості та індукції електричного поля. Теорема Остроградського-Гауса
Нехай в просторі існує електричне поле, створене деякими електричними зарядами. Розглянемо деяку поверхню з нескінченно малою площею dS (елементарну поверхню) з одиничним вектором нормалі до поверхні , як зображено на рис.3.3. Нехай в центрі елементарної поверхні напруженість електричного поля рівна .
Е
Рис.3.3
, (3.10)
де – кут між векторами і .
Подібним чином можна дати визначення елементарного потоку вектора індукції електричного поля, який рівний:
. (3.11)
Потік вектора напруженості електричного поля через деяку поверхню S визначається за формулою:
. (3.12)
Він пропорційний числу силових ліній, які пронизують цю поверхню.
Потік вектора індукції електричного поля через деяку поверхню S рівний:
. (3.13)
Розглянемо деякий точковий позитивний заряд , який помістимо в центрі сферичної поверхні S радіусом R (рис. 3.4). Обчислимо потік вектора напруженості електричного поля через цю замкнену поверхню
. (3.14)
Н
Рис.3.4
. (3.15)
Підставимо (3.15) в (3.14), врахуємо, що кут між векторами і в даному випадку .
.
Оскільки для всіх точок сферичної поверхні величина R є постійною то, винісши постійні множники за знак інтегралу, отримаємо:
. (3.16)
Але інтеграл по замкнутій поверхні S - це площа сферичної поверхні, яка рівна:
. (3.17)
Підставимо вираз (3.17) в (3.16):
. (3.18)
Український вчений М.В.Остроградський і німецький вчений К.Гаус довели, що формула (3.18) справедлива для замкненої поверхні довільної форми і довільної кількості електричних зарядів, які знаходяться всередині цієї поверхні. Тому в загальному випадку формулу (3.18) можна представити у вигляді:
. (3.19)
Формула (3.19) – це теорема Остроградського-Гауса для напруженості електричного поля: потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнену поверхню рівний алгебраїчній сумі електричних зарядів, охоплених цією поверхнею, поділеній на діелектричну проникність середовища.
Помножимо рівняння (3.19) на . Враховуючи, що цей множник постійний, внесемо його під знак інтегралу:
. (3.20)
Враховуючи (3.7), отримаємо
. (3.21)
Формула (3.21) це теорема Остроградського-Гауса для індукції електричного поля: потік вектора індукції електричного поля через довільну замкнену поверхню рівний алгебраїчній сумі електричних зарядів, охоплених цією поверхнею.
Розглянемо випадок коли електричні заряди розподілені в просторі неперервно з деякою об’ємною густиною . Об’ємною густиною електричного заряду називається фізична величина, рівна електричному зарядові в одиниці об’єму простору:
. (3.22)
Визначимо з цієї формули dq:
. (3.23)
Проінтегрувавши вираз (3.23) по деякому об’єму V визначимо сумарний електричний заряд який міститься в цьому об’ємі:
. (3.24)
З врахуванням формули (3.24) теорему Остроградського-Гауса (3.19) і (3.21) у випадку неперервного просторового розподілу зарядів можна представити у вигляді:
. (3.25)
. (3.26)
У формулах (3.25) і (3.26) інтегрування здійснюється по всьому об’єму V який обмежений замкненою поверхнею S.
Розрахунок електричних полів за допомогою теореми Остроградського-Гауса
Для розрахунку електричного поля створеного зарядженим тілом необхідно розбити це тіло на точкові заряди і визначити напруженість електричного поля в деякій точці простору за принципом суперпозиції. Для багатьох тіл такі розрахунки математично досить складні. Для деяких симетричних тіл розрахунок електричного поля значно спрощується при використанні теореми Остроградського-Гауса. Розглянемо деякі приклади таких розрахунків.