Питання
Питання 1. Одна працівниця обслуговує тридцять ткацьких верстатів, забезпечуючи їх запуск після розриву нитки. Модель такої системи масового обслуговування можна охарактеризувати як:
1) багатоканальну однофазову з обмеженою популяцією;
2) одноканальну однофазову з необмеженою популяцією;
3) одноканальну багатофазову з обмеженою популяцією;
4) одноканальну однофазову з обмеженою популяцією;
5) багатоканальну однофазова з необмеженою популяцією.
Питання 2. В теорії масового обслуговування для опису найпростішого потоку заявок, що надходять на вхід системи, використовується розподіл ймовірностей:
1) нормальний;
2) експоненційний;
3) пуассонівський;
4) біноміальний;
5) ніщо з вищевказаного не є вірним.
Питання 3. В теорії масового обслуговування передбачається, що кількість заявок в популяції є:
1) фіксованим або змінним;
2) обмеженим або необмеженим;
3) відомим або невідомим;
4) випадковим або детермінованим;
5) ніщо з вищевказаного не є вірним.
Питання 4. Двома основними параметрами, які визначають конфігурацію системи масового обслуговування, є:
1) темп надходження і темп обслуговування;
2) довжина черги і правило обслуговування;
3) розподіл часу між заявками і розподіл часу обслуговування;
4) число каналів і число фаз обслуговування;
5) ніщо з вищевказаного не є вірним.
Питання 5. В теорії масового обслуговування для опису часу, що витрачається на обслуговування заявок, як правило використовується розподіл ймовірностей:
1) нормальний;
2) експоненційний;
3) пуассонівський;
4) біноміальний;
5) ніщо з вищевказаного не є вірним.
Питання 6. Ремонт зламаних комп'ютерів на економічному факультеті здійснюють три фахівці, що працюють одночасно і незалежно один від одного. Модель такої системи масового обслуговування можна охарактеризувати як:
1) багатоканальну з обмеженою популяцією;
2) одноканальну з необмеженою популяцією;
3) одноканальну з обмеженою популяцією;
4) одноканальну з обмеженою чергою;
5) багатоканальну з необмеженою популяцією.
Задачі
Задача 1. Система банку «Автодор» дозволяє клієнту здійснювати деякі банківські операції, не виходячи з машини. Вранці в робочі дні прибуває в середньому 24 клієнта на годину. Прибуття клієнтів описується законом Пуассона. Час обслуговування розподілено експоненціально з середньою швидкістю обслуговування 36 клієнтів на годину.
Визначте наступні характеристики системи:
середнє число клієнтів в черзі;
середнє число клієнтів в системі;
середній час очікування;
середній час, який клієнт проводить в системі.
Питання:
1. Скільки клієнтів у середньому прибуває за 5 хв?
2. Які ймовірності того, що рівно 0, 1, 2, 3 клієнта прибудуть за 5 хв?
3. Якщо протягом 5 хв прибуває понад 3 клієнти, то виникає проблема перевантаженості системи. Яка ймовірність виникнення такої проблеми?
4. Які ймовірності того, що час обслуговування складе: а) не більше 1 хв; б) не більше 2 хв; в) більше 2 хв?
5. Яка ймовірність того, що прибувшому клієнтові доведеться чекати обслуговування?
6. Які ймовірності того, що в системі знаходиться: а) 0 клієнтів; б) 3 клієнта; в) більше 3 клієнтів?
Задача 2. Автосервіс вирішив найняти механіка для того, щоб він міняв старі покришки на нові. На це місце є два кандидати. Один з них має обмежений досвід і може бути найнятий за 7 дол на годину. Очікується, що цей механік зможе обслуговувати 3 клієнта на годину. Інший механік більш досвідчений, він у змозі обслужити 4 клієнта на годину, але його можна найняти на роботу за 10 дол на годину. Клієнти прибувають зі швидкістю 2 клієнта на годину. Компанія оцінює витрати по очікуванню клієнтами своєї черги в 15 дол за годину. Припускаючи пуассонівський розподіл прибуття і експоненціальний - часу обслуговування, визначте:
середній час, який клієнт проводить в черзі;
середню довжину черги;
середній час, який клієнт проводить у системі обслуговування;
середнє число клієнтів в системі обслуговування;
ймовірність того, що система обслуговування виявиться вільною за умови найму одного або іншого механіка.
Питання:
1. Якого механіка слід найняти, щоб забезпечити менші сукупні витрати?
2. Які мінімальні сукупні витрати?
Задача 3. «У Петра» - маленький магазин з одним прилавком. Припустимо, що покупці прибувають в магазин за законом Пуассона з середньою швидкістю 15 покупців на годину. Час обслуговування розподілений експоненціально, середня швидкість обслуговування - 20 покупців на годину. Розрахуйте:
середній час, який покупець проводить в черзі;
середню довжину черги;
середній час, який покупець проводить в магазині;
середнє число покупців у магазині;
ймовірність того, що в магазині не виявиться покупців.
Власник магазину встановив, що витрати, пов'язані з очікуванням, виражаються в зниженні попиту і рівні 2 дол за 1:00 очікування. Він вирішив обмежити середній час очікування обслуговування п'ятьма хвилинами. Можна спробувати досягти цього, реалізувавши одну з наступних альтернатив:
А. Найняти продавця, який би виконував замовлення, в той час як касир розраховується з покупцем (годинна оплата кожного - 3 дол.) Це дозволить збільшити середню швидкість обслуговування до 30 покупців на годину.
В. Найняти ще одного касира (годинна оплата - 3 дол), тим самим створивши в магазині двоканальну чергу (середня швидкість обслуговування - 20 клієнтів на годину для кожного працівника).
Питання: Яку альтернативу слід вибрати?
Задача 4. У верхній течії Волги побудована нова станція з обслуговування річкових суден. Суди прибувають за законом Пуассона з середньою швидкістю 5 суден на годину. Час обслуговування розподілено експоненціально з середньою швидкістю обслуговування 10 суден на годину. В середньому витрати по простою річкового судна складають 100 дол / год, а витрати з обслуговування дока - 75 дол / год.
Питання:
1. Яка ймовірність того, що док буде порожній?
2. Яке середнє число суден у черзі?
3. Яке середній час очікування обслуговування?
4. Яке середній час перебування в доку?
5. Адміністрація станції розглядає можливість введення в дію ще одного дока з тією ж швидкістю обслуговування. Чи є в цьому необхідність?
Задача 5. «Гнучкий шлях» - невеликий супермаркет в одному з районів міста. Покупці прибувають в магазин за законом Пуассона з середньою швидкістю 15 осіб на годину. На виході з супермаркету стоїть один касовий апарат, і обслуговує його один касир. Час, витрачений на розрахунки з клієнтом, розподілено експоненціально і в середньому дорівнює 3 хв.
Власник магазину вирішив придбати другий касовий апарат з метою скорочення часу, проведеного клієнтами в черзі, для чого необхідно найняти другого касира. Годинна оплата касира - 2 дол. Витрати, пов'язані з очікуванням у черзі, призводять до зниження споживчого попиту і оцінюються в середньому в 3 дол за годину.
Питання:
1. Чи є необхідність у придбанні другого касового апарату з точки зору економічного ефекту? (Амортизаційні відрахування від придбаного касового апарату та витрати на його обслуговування малі, тому в розрахунках їх можна не враховувати.)
2. Придбання третього касового апарату призведе до подальшого скорочення черги, але чи є в цьому необхідність з точки зору економічного ефекту?
Задача 6. Підприємство швидкого харчування обслуговує клієнтів, які прибувають на автомашинах за законом Пуассона з середньою швидкістю 24 машини на годину. Час обслуговування розподілено експоненційно. Клієнти роблять своє замовлення, а потім від'їжджають, щоб оплатити і отримати замовлене. Кожна година, яку клієнт проводить у черзі, оцінюється в 25 дол. Оплата службовцям дорівнює 6,5 дол за годину. Крім зарплати для забезпечення роботи кожного з каналів треба витрачати 20 дол на годину.
Розглядаються наступні можливі конфігурації системи:
А. Одноканальна система з одним службовцем, який виконує замовлення і приймає оплату. Середній час обслуговування клієнта - 2 хв.
В. Одноканальна система з одним службовцем, який виконує замовлення, і іншим службовцям, які приймають оплату. Середній час обслуговування - 1,25 хв.
С. Двоканальна система з двома службовцями, кожен з яких виконує замовлення і приймає оплату. Середній час обслуговування - 2 хв для кожного із службовців.
Для кожної конфігурації системи визначте:
ймовірність того, що в системі немає машин;
середнє число машин в черзі;
середній час очікування обслуговування;
середній час перебування в системі;
середнє число машин в системі;
ймовірність того, що знову прибувшій машині доведеться чекати.
Питання: Який з варіантів вимагає менших затрат?
Задача 7. Механіки компанії «Автосервіс» прибувають на головний склад за запчастинами з середньою швидкістю 4 механіка на хвилину. Зараз на складі один працівник. Кожен механік в середньому знаходиться на складі 4 хв. Знайдіть:
середнє число клієнтів в системі;
середній час обслуговування одного клієнта в системі;
середнє число клієнтів в черзі.
Досвід використання двох працівників на складі показав, що час очікування механіком своєї черги знизився. Визначте для двоканальної системи:
середнє число клієнтів в системі;
середній час обслуговування одного клієнта в системі;
середнє число клієнтів в черзі.
Механік отримує 1200 руб. на годину, а працівник відділу запчастин - 720 руб. на годину.
Питання: Яка з двох систем (одноканальна або двоканальна) більш економна?
Задача 8. Автоматична мийка машин може обслужити 10 машин за годину. Машини прибувають за законом Пуассона з середньою швидкістю 24 автомашини за 8-годинний робочий день. Система одноканальна.
Питання:
1. Чому дорівнює середня кількість автомобілів у черзі?
2. Чому дорівнює середній час очікування?
3. Яку частину робочого часу система зайнята?
Задача 9. Компанія «Жалюзі на будинок» вирішила довести число своїх машин до 8. Президент компанії цікавиться, чи варто в цьому випадку наймати на роботу другого механіка на допомогу до одного наявного. Середня швидкість прибуття на ремонт дорівнює 0,05 рази в годину для кожної машини, середня швидкість обслуговування - 0,5 машини на годину. Кожен механік отримує 20 дол на годину, а вартість простою машини становить 80 дол на годину.
Розрахуйте наступні операційні характеристики, якщо компанія залишає одного механіка:
ймовірність того, що всі машини працюють і механік простоює;
середнє число очікування ремонту машин;
середнє число машин в системі (машини в черзі і на обслуговуванні);
середній час очікування початку ремонту;
середній час перебування в системі (очікування і ремонт).
Використовуючи комп'ютерну програму, розрахуйте ті ж характеристики для випадку з двома механіками.
Питання: Скільки механіків слід найняти з економічної точки зору?
Задача 10. У розпорядженні магазина знаходиться 10 вантажівок. Вантажівки прибувають в магазин у випадковому порядку протягом дня для навантаження-розвантаження. Кожна вантажівка прибуває на обслуговування двічі за 8-годинний робочий день. Середня швидкість обслуговування - 4 вантажівки на годину. Потік вантажівок описується пуассонівским розподілом, час обслуговування - експонентним. Визначте:
ймовірність того, що жодна вантажівка не очікує навантаження-розвантаження;
середнє число вантажівок у черзі;
середнє число вантажівок у магазина (вантажівки в черзі і на навантаженні-розвантаженні);
середній час очікування в черзі.
Питання: Які є часові витрати щодо функціонування системи, якщо на годину витрати на кожну вантажівку рівні 50 дол, а на роботи з вантажівками - 30 дол?