9.5 Прогнозування тенденції часового ряду

Механічні методи згладжування часових рядів використовують фактичні значення сусідніх рівнів ряду і не досліджують аналітичний вид згладженої функції. Вони мають механізм автоматичного налагодження на зміну досліджуваного показника. Завдяки цьому модель постійно пристосовується до зміни інформації й наприкінці інтервалу прогнозової бази відображає тенденцію, що склалася на поточний момент. До механічних методів належать: згладжування по двох точках, метод простої ковзкої середньої, метод зваженої ковзкої середньої, метод експоненційного згладжування.

Аналітичні методи згладжування часових рядів ґрунтуються на припущенні, що відомий загальний вигляд невипадкової складової часового ряду. Вони реалізуються за допомогою регресійних та адаптивних методів.

Регресійні методи є основою побудови кривих зростання. Для відображення економічних процесів існує велика кількість видів кривих зростання. Щоб правильно підібрати найдоцільнішу криву для моделювання й прогнозування економічного явища, необхідно знати особливості кожного виду кривих.

Вибір форми кривої для згладжування певною мірою залежить від мети згладжування: інтерполяції або екстраполяції. У першому випадку метою є досягнення найбільшої близькості до фактичних рівнів часового ряду. У другому – виявлення основної закономірності розвитку явища, стосовно якої можна припустити, що в майбутньому вона збережеться.

На практиці під час попереднього аналізу часового ряду обирають, як правило, дві-три криві зростання для подальшого дослідження і побудови трендової моделі часового ряду.

Адаптивні методи прогнозування застосовуються в ситуації зміни зовнішніх умов, коли найбільш важливими стають останні реалізації досліджуваного процесу. Загальна схема побудови адаптивних методів може бути подана так:

1) за кількома першими рівнями ряду будується модель і оцінюються її параметри;

2) на основі побудованої моделі розраховується прогноз на один крок вперед, причому його відхилення від фактичного рівня ряду розцінюється як помилка прогнозування, яка враховується відповідно до прийнятої схеми коригування моделі;

3) за моделлю з відкоригованими параметрами розраховується прогнозна оцінка на наступний момент часу тощо.

Схему такого процесу представлено на рис. 5.3.

Рисунок 9.5 – Схема побудови адаптивних моделей

Після надходження фактичного значення обчислюється помилка, розбіжність між фактичним і прогнозованим рівнем (довготермінова функція моделі): .

У моделі передбачається, що зміна фактичного рівня є деякою часткою ( ) від очікуваної зміни . Параметр називається коригувальним коефіцієнтом або параметром адаптації. За критерій оптимальності під час вибору параметра адаптації можна взяти мінімум середнього квадрата помилок прогнозування. Чим ближчий до одиниці, тим більше сподівання економічних суб’єктів відповідають реальній динаміці часового ряду, і навпаки, чим ближче до нуля – тим менше володіємо ситуацією, тому треба вносити корективи.

Таким чином, модель постійно вбирає в себе нову інформацію і до кінця періоду навчання відбиває тенденцію розвитку процесу, що існує на даний момент. Прогноз отримується як екстраполяція останньої тенденції. Численні адаптивні методи відрізняються один від одного лише способами числової оцінки параметрів моделі і визначення параметрів адаптації. Базовими адаптивними методами вважаються методи Хольта, Брауна і Хольта-Уїнтерса.

Модель Брауна

Якщо є часовий ряд спостережень , то прогноз в момент часу t на кроків вперед можна здійснити за формулою

(9.15)

де  – поточні оцінки коефіцієнтів адаптивного поліному.

В моделі Брауна модифікація (адаптація) коефіцієнтів лінійної моделі здійснюється наступним чином

, (9.16)

де  – коефіцієнт дисконтування даних,

 – похибка прогнозу ( ).

Початкові значення параметрів моделі можна визначити за методом МНК на основі декількох перших спостережень. Оптимальне значення параметра дисконтування знаходиться в межах [0;1], визначається методом чисельної оптимізації і є постійним для всього періоду спостережень. За рахунок оператору В можна зрушувати всю послідовність на один крок назад: . Застосування оператору В до спостережень і до коефіцієнтів адаптивного поліному дозволяє виразити модель Брауна у вигляді

. (9.17)

Тоді модель Брауна можна трактувати як модель авторегресії ARIMA (0, 2, 2)-моделлю: з коефіцієнтами ковзної середньої – та .

Точковий прогноз розраховують після підстановки значення в оцінювану модель. Межі інтервалу надійності прогнозу можна визначити за формулою:

, (9.18)

де величини .