16

Лекція 9 «Ідентифікація та прогноз часових рядів»

Анотація

Динамічний та часовий ряди. Систематичні та випадкові компоненти часового ряду. Фільтрація компонент часового ряду. Стаціонарність часового ряду. TS, DS, тренд-сезонні, нелінійні часові ряди. Дослідження автокореляційної функції часового ряду. Методи фільтрації сезонної компоненти. Прогнозування тенденції часового ряду за механічними методами та аналітичними методами. Адаптивні методи прогнозування. Метод декомпозиції часового ряду. Розрахунок сезонної хвилі.

9.1 Основні поняття і попередній аналіз рядів динаміки

Спостереження над деяким явищем, характер якого змінюється в часі, породжує впорядковану послідовність, що називається часовим рядом. У кожен момент часу (або часовий інтервал) значення досліджуваної величини, що є числовою характеристикою явища, може формуватися під сукупною дією великого числа чинників як випадкового, так і невипадкового характеру. Зміна умов розвитку явища веде до ослаблення дії одних чинників і посилення інших і кінець кінцем до варіювання ознаки, що вивчається, в часі.

Динамічний ряд – це сукупність спостережень одного показника, впорядкованих залежно від значень іншого показника, що послідовно зростають або спадають.

Часовий ряд (time series) – це ряд динаміки, впорядкований за часом, або сукупність спостережень економічної величини в різні моменти часу.

Для аналізу соціально-економічних показників абсолютні рівні моментальних або інтервальних часових рядів, а також рівні середніх величин часто доводиться перетворювати на відносні величини. До найпоширеніших характеристик динаміки розвитку соціально-економічних процесів та їхні розрахунки відносяться: абсолютний приріст, коефіцієнти зростання та приросту, темпи зростання та приросту, середні арифметична, хронологічна тощо.

Існує дві основні мети аналізу часових рядів:

визначення природи ряду та

прогнозування.

Обидві ці цілі вимагають, щоб модель ряду була ідентифікованою і більш-менш формально описаною.

Розгляд реальних ситуацій дозволяє прийти до висновку, що типові часові ряди можуть бути представлені як декомпозиція із чотирьох структурно утворюючих елементів:

тренд (U_t),

сезонна компонента (S_t),

циклічна компонента (V_t) – коливання відносно тренда з більшою або меншою регулярністю,

випадкова компонента (E_t), тобто

. (9.1)

Також можуть виділяти і інші компоненти

, (9.2)

де  ‑ компонента, що забезпечує порівнянність елементів динамічного ряду,

 ‑ управляюча компонента, за допомогою якої впливають на значення членів динамічного ряду для формування в майбутньому бажаної траєкторії.

Очевидно, реальні дані цілковито не відповідають лише одній із наведених функцій, тож часовий ряд , можна уявити у вигляді розкладення:

, (9.3)

або різноманітних поєднань окремих функцій. Однак завжди припускають обов’язкову наявність випадкової складової. Розкладення (декомпозиція) часового ряду відбувається за такими варіантами моделей:

модель тренду , ; (9.4)

модель сезонності , ; (9.5)

тренд-сезонна модель , . (9.6)

Моделі тренду й сезонності (тренд-сезонні) можуть відображати як відносно постійну сезонну хвилю (цикл), так і динамічно змінювану залежно від тренду. Перша форма – (9.3–9.6) належить до адитивних, друга ( , , (9.7)) – до мультиплікативних моделей.

Тренд, сезонна і циклічна компоненти не є випадковими і називаються систематичними компонентами часового ряду.

Випадкові чинники не підлягають вимірюванню, але неминуче супроводжують будь-який економічний процес і визначають стохастичний характер його елементів. До випадкових чинників можна віднести помилки вимірювання, випадкові збурення тощо. Деякі часові ряди, наприклад стаціонарні, не мають тенденції та сезонної складової, кожен наступний рівень їх утворюється як сума середнього рівня ряду і випадкової (додатної або від’ємної) компоненти. Приклад такого ряду демонструє рис. 9.1 в). Результат впливу випадкових чинників позначається випадковою компонентою Е_t, яку обчислюють як залишок або похибку, що залишається після вилучення з часового ряду систематичних компонент. Це не означає, що така складова не підлягає подальшому аналізу, оскільки містить лише хаос.

Рисунок 9.1 – Головні компоненти часового ряду: а – тренд, що зростає; б – сезонна компонента; в – випадкова компонента

Окремий розрахунок компонент носить назву фільтрації компонент. Якщо необхідно розрахувати значення тренду разом із сезонною складовою, тобто , то дана процедура називається згладжуванням, а отриманий при цьому ряд – тренд-сезонним часовим рядом.

Розглянемо приклад фільтрації компонент деякого умовного часового ряду, зображеного на рисунку 9.2

Рисунок 9.2

Нехай нам відомі відфільтровані компоненти ряду, що графічно зображені на рисунках 9.3 а)-в)

а) трендова компонента U(t)=3t^1,3–5t+12 б) сезонна компонента

в) циклічна компонента г) випадкова компонента

Рисунок 9.3

Спроба визначити тренд за вихідним часовим рядом, як видно з рисунку 9.4, дала не зовсім адекватний результат, якщо порівняти рівняння тренду реального та отриманого.

Рисунок 9.4

Тому проблема адекватної декомпозиції часового ряду є достатньо серйозною.

Часовий ряд правильно відображає об’єктивний закон зміни економічного показника, коли рівні цього ряду є порівнянними, однорідними, сталими та мають достатню сукупність спостережень. Невиконання однієї із цих умов робить некоректним застосування математичного апарату для аналізу часового ряду.