13.Методика изучения письменных приемов умножения чисел в пределах миллиона.

Вычисления произведения многозначного числа на однозначное или многозначного числа на многозначное требует применения письменных приемов вычислений (письменного алгоритма). Этот алгоритм основан на основе законов сложения и умножения натуральных чисел. Правило: (a+b+c)*d = a*d+b*d+c*d (умножение суммы на число) При умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. В качестве суммы рассматривается многозначное число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых. Например: 125*3 =(100+20+5)*3=…=375. Переводя данный алгоритм в запись «столбиком» получается письменный алгоритм умножения числа на сумму: a*(b+c+p) = a*b+a*c+a*p При умножении числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Это правило является основой приема умножения многозначного числа на многозначное. Первый множитель- это число, умножаемое на сумму. В качествеве суммы рассматривается второй множитель, представленный в виде разрядной суммы. Умножение многозначного числа на многозначное выполняется в соответствии с правилом умножения числа на сумму. Например: 123*212=123* (200+10+2)=123*200+123*10+123*2=26076.Для прочного усвоения письменных поемов умножения реб должен: 1. Запомнить правильную запись: разряд запис-ся под соответствующим разрядом. 2.Запомнить правильный порядок выполнения действия: умножение слева направо. 3. Овладеть технологией запоминания и добавления излишний разрядных ед., получаемых при умножении однозначных чисел, в след. по старшинству разряд. Особые случаи умножения:973*50, 50 сдвигается впаво. Т.к. можно опустить, затем домножив на нужное кол-во десятков. 421*305, т.к.после * первого множителя сразу переходим к третьему. Сдвигаясь влево, т.к. число десятков второго множителя обозначено цифрой 0. Но лучше с детьми сначала производить полные записи.

14. Методика изучения письменных приемов деления чисел в пределах миллиона.

Прием письменного деления вкл.такие операции: замену делимого сумой удобных слагаемых, деление на делитель каждого слагаемого, сложение полученных частных. Исп-ся прием подбора. Письменное деление всегда начинается с высших разрядов. В трад. учебниках исп-ся поэтапный подход к формированию письменного алгоритма деления:1. Рассматриваются случаи вида 794:2, 984:4 – первое неполное делимое однозначное; 2. Рассм-ся случаи вида 376:4, 198:6 – первое неполное делимое двузначное; 3. С нулями в частном (в конце или середине); 4. Деление чисел, оканчивающихся нулями. Например: рассмотрим как выполняется деление с объяснением: 748:2: делю сотни: 7 сот.делю на 2, можно взять по 3 сот. В частном будет 3. Проверяю, ск-ко сотен разделилось: 3 сот.*2=6 сот. Нахожу отсаток от деления сотен: 7 сот.-6 сот.=1 сот. Далее делю десятки ит.д. При делении вида 456:8 ход рассуждений будет аналогичным, но первое неполное делимое -45. Т.к. 4 сот. Нельзя разделить на 8, чт. Получить в частном сотни. При делении многозначных чисел для самопроверки полезно заранее определить, ск-ко цифр должно получиться в записи частного. Выделение первого неполного делимого и определение его десятичного состава как раз и является приемом, позволяющим опр-ть кол-во цифр частного. Например, в случае 456:8 первое неполное делимое -45 десятков, след-но первой значащей цифрой частного будет цифра десятков, тогда в частном будет 2 цифры (дес.и ед.). особенно важен этот прием при выполнении деления, приводящего к случаям получения нулей в частном. Деление на двузначное и трехзначное число в основе лежит св-во деления числа на произведение: При делении числа на произведение можно разделить это число сначала на один множитель, а затем полученный рез-т разделить на второй множитель. Например: 240:30=240:3*10)= (240:10):3=24:3=8 в письменном / лежит общий алгоритм деления на однозначное число. Например 22900:300. Первое неполное делимое 2290. При ознакомлении детей с делением на двузначное число сначала рассм-ся случаи, когда в частном получ-ся 1 цифра Например: 492:82=6 (столбик). Эту цифру частного находят приемом подбора: ориентировка на посл. Цифру. Например 492:82. Что надо умножить на 2, чтобы получить рез-т с посл. Цифрой 2 –это 6. Можно использовать прием замены делителя на ближайшее разрядное число. Письменные алгоритмы * и / на 2 и 3-значные числа изуч-ся в конце 4 класса, поэтому учитель не всегде успевает уделить им достаточное кол-во времени. Использование продуктивных вычислит.приемов может поможет реб.в овладении осознанной вычислит.деят-ю.

15. Методика изучения темы «Деление с остатком» в начальном курсе математики.

Разделить с остатком целое неотрицательное число a на натуральное число b – это значит найти такие неотрицательные числа q и r, чтобы a=b*q+r, где r>0, r>b.

Цель введения данного понятия:

1. Расширение представления учащихся о делении.

2. Овладение способами деления с остатком (подбор делимого или частного).

3. Совершенствование вычислительных навыков.

4. Использование данного понятия для выполнения письменных вычислений.

Изучение данной темы проходит в несколько этапов:

1. Разъяснение предметного смысла деления с остатком. Знакомство с новой формой записи и с новыми терминами.

9:2=4 (ост. 1) Вывод: остаток должен быть меньше делителя.

2. Усвоение смысла деления с остатком и взаимосвязь различных форм записи деления с остатком.

Упражнения:

• Выполнение рисунка по данной записи: 3*3+2=11

О	О	О
О	О	О
О	О	О	ОО

• Выполнение записи по данным рисункам

О	О	О	О
О	О	О	О
О	О	О	О	ОО

4*3+2=14

14:4=3(ост.2)

14:3=4(ост.2)

• Выбор рисунка, соответствующий данной записи.

• Выбор записи, подходящей к данному рисунку.

3. Овладение способами деления с остатком :

   1. Подбор делимого:

38:5=7(ост.3)

Обязательна проверка, сравнивается остаток и делитель.

2. Подбор неполного частного:

57:6=9(ост. 3)

6*9=54

57-54=3

• Вставь пропущенное делимое:

_ :6=13(ост.3)

_ :5=12 (ост.4)

• Сравнение делимых, не выполняя вычислений:

_ :8=19(ост.1) _:607=3(ост.2)

_ :8=19(ост.2) _:3=607(ост.2)

• Вставь пропущенный делитель

86: _ =9(ост.5)

Усвоение учащимися способа подбора частного позволит им самостоятельно выполнить деление трехзначного числа на 2значное, 4значного на 3значное до знакомства с алгоритмом письменного деления.

На этом же этапе учащиеся знакомятся с еще одной формой записи деления с остатком – деление уголком.

38	7
-35	5
3

38:7=5(ост.3)

4. Деление с остатком меньшего числа на большее – обобщение способов деления с остатком

19:27=0(ост.19)

19:27=0(ост.19)

Если меньшее число разделить на большее, то неполное частное = 0, а остаток = делимому.

5. Деление с остатком на 10, 100, 1000.

68:10=6(ост.8)

268:100=2(ост.68)

3268:1000=3(ост.268)

Т.О. методические особенности формирования понятий деления с остатком заключается в следующем:

1. Изучение данной темы целенаправленно готовит к изучению алгоритма письменного деления.

2. Наиболее эффективным способом деятельности учеников, направленной на усвоение смысла деления с остатком – установления соответствия между предметными моделями и математической записью.

3. Основной способ действия при делении с остатком является подбор частного, так как он позволяет осознать смысл новой записи с т.з. взаимосвязи компонента и результата действия. Его можно использовать при выполнении письменного деления.

4. В теме деления с остатком дети знакомятся с формой записи деления уголком.

5. В теме деления с остатком рассматривается случай деления меньшего числа на большее, что также используется в алгоритме письменного деления.

16. Формирование понятия «задача» в начальном курсе математики. Различные методические подходы к формированию умения решать задачи.

Любое математическое задание можно рассматривать как задачу, выделив в нем условие, то есть ту часть, где содержатся сведения об известных и неизвестных значениях величин, об отношениях между ними и требованиями.

Задача:

- условие

-требование

Для выполнения каждого требования применяется определенный метод или способ действия, в зависимости от которого выделяют различные виды математических задач:

1. задачи на построение

2. задачи на доказательство

3. задача на преобразование

4. комбинаторные задачи

5. арифметические задачи.

В начальном курсе математики понятие задача используется, когда речь идет об арифметической задаче. Они формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами. Поэтому такие задачи называются текстовыми, сюжетными, вычислительными.

1. В сюжетных находят отражение практические ситуации, имеющие место в жизни ребенка, это помогает ему осознать реальные количественные отношения между разными объектами (величинами) и тем самым углубить и расширить свои представления о реальной действительности.

2. Решение задач позволяют ребенку осознать практическую значимость тех математических понятий, которыми он овладевает в начальном курсе математики.

3. В процессе решения задач у ребенка формируются общие умения:

• Выделять данное и искомое (условие и вопрос)

• Устанавливать зависимость между ними

• Строить умозаключения

• Умение моделировать

• Умение проверять результат

Различные методические подходы к формированию умения решать задачи.

Вопрос о том, как научить детей устанавливать связь между данными и искомыми в текстовой задаче и в соответствие с этим выбрать, а затем выполнить арифметические действия решаются по разному.

Существуют 2 принципиально отличных друг от друга подхода:

1. Задача – средство обучения. Нацелен на формирование у детей умений решать определенные типы задач: сначала простые, потом составные.

Простая задача – основное средство формирования понятий (смысл сложения, увеличить на, уменьшить на)

В 1 классе решение простой задачи происходит как выполнение простой операции и ребенок не осознает, что в данном случае он произвел то или иное действие.

При этом следует, что соотнося текст задачи и его предметную иллюстрацию дети могут ответить на вопрос не выполняя арифм. Действие, а привязывая счет предметов.

Другими словами выбор арифм. Действия и запись решения задачи не воспринимаются как осознанная необходимость.

Главный способ организации деятельности мл.шк. это показ образца решения задачи и его закрепление в процессе выполнения однотипных задач.

В результате отводится много времени в процедуре оформления решения.

В основе механизма решения простых задач лежит опознание ребенком образцов условий уже известных ему типов задач.

Деятельность по решению простых задач носит репродуктивный характер, не случайно в методике появился такой термин, как навык решения задач.

2. Задача – цель обучения. Цель другого подхода – научить выполнять семантический и математический анализ текстовых задач. Выявлять взаимосвязи между условием и вопросом. Представлять эти связи в виде схематических и символических моделей.

Этот подход сориентирован на формирование обобщенных умений:

- умение решать задачи

- умение выделять условие и вопрос

- устанавливать взаимосвязь между ними

- осознанно использовать математические понятия при выборе арифм. Действия.

Процесс решения задачи рассм. как переход от словесной модели к модели математической или схематической. Учащиеся должны быть подготовлены к такой деятельности.

Отсюда следует, что знакомству с текстовой задачей должен предшествовать специальная работа по формированию математических понятий и отношений, которые будут использоваться при решении текстовых задач.

Так как процесс решения задач связан с выделением посылок и построением умозаключений необходимо научить мл. шк. Логическим приемам мышления.

К этому времени учащиеся должны также приобрести опыт в соотнесении предметных, текстовых, схематических и символических моделей, которые они смогут использовать для интерпретации текстовых моделей.

Т.О. готовность шк. к знакомству с текстовой задачей предполагает сформированность:

- навыков чтения

- представлений о смысле действий + и – и их взаимосвязи

- основные мыслительные операции: анализ, синтез, обобщение

- умения описывать предметные ситуации, переводить их на язык схем и матем символов

- умения чертить, складывать и вычитать отрезки

- умения переводить текстовые ситуации в предметные схематические модели.

17. Подготовительная работа к обучению детей решению задач.

В связи с тем, что необходимое для самостоятельной работы над текстом задачи умение хорошо читать – формируется у многих детей не в полной мере даже к концу первого класса, педагогам, при обучении детей решению задач в 1 классе приходится целиком и полностью работать с ними «на слух».

В этой ситуации важнейшее значение приобретает умение ребенка не только слушать внимательно предлагаемый текст, но и правильно представлять себе ситуацию, заданную условием. В этой связи прежде, чем приступать к знакомству с задачей и обучению решению задач, необходимо сформировать у ребенка целый комплекс умений слушать и понимать тексты различных структур, умения правильно представлять себе и моделировать ситуации, предлагаемые педагогом, умение правильно выбирать действие в соответствии с ситуацией, а также умение составлять математическое выражение в соответствии с выбранным действием, и умение выполнять простые вычисления. Эти умения являются базовыми для подготовки ребенка к обучению решению задач.

Важнейшим умением, необходимым ребенку для правильного решения простых задач является умение правильно выбирать арифметическое действие в предложенной ситуации.

Первым необходимым условием является обучение ребенка моделированию различных ситуаций (объединение совокупностей, удаление части, увеличение на несколько штук, сравнение и т. п.) на различной предметной наглядности символического характера (используются простейшие заменители – фигурки, палочки и т. д.).

Вторым необходимым условием является обучение ребенка выбору соответствующих арифметических действий и составлению математических выражений в соответствии с ситуацией, заданной текстом.

В качестве третьего условия следует убедиться, что ребенок достаточно уверенно пользуется приемом присчитывания и отсчитывания, поскольку для получения результата арифметического действия следует это действие выполнять, а не получать ответ пересчетом. Пересчет – это способ проверки правильности полученного результата.

Для того чтобы подвести ребенка к пониманию того, что для решения задачи необходимо научиться получать ответ не пересчетом, а другими, чисто математическими приемами (путем выполнения приемов арифметических действий), следует соответствующим образом организовывать наглядность. Для исключения пересчета рекомендуется использовать прием работы со «скрытой» наглядностью, т. е. сначала наглядность предъявляется, сосчитывается, обозначается цифрами, а затем прячется (в коробку, конверт, корзину, за ширму и т. п.). После этого в соответствии с сюжетом задания приступают к выбору действия, поясняя его.

Такая методика работы с наглядностью может быть использована в ситуации любой простой задачи, поскольку позволяет организовать и стимулировать как процесс выбора действия для решения задачи, так и провести проверку полученного результата пересчетом, что уже с первых же шагов будет формировать у ребенка правильное представление о том, что в решении задачи главное – это поиск действия, и о том, что решение задачи и ее проверка – это разные учебные действия.

Правильный выбор арифметического действия для решения задачи во многом зависит от умения учащихся переводить различные реальные явления и связи между ними на язык математических символов. В связи с этим полезно использовать на уроках задания, связанные с составлением рассказа по картинке, и записи его с помощью математических символов. Такие картинки есть в учебнике.

Например: Составить рассказ по картинке, который соответствовал бы: _ + _ = _

Можно составить такой рассказ: «На одной ветке 3 вишни, а на другой 1. На двух ветках вместе 4 вишни». В соответствии с этой ситуацией в первое окошко нужно поставить число 3, во второе - 1, а третье - 4. Можно составить и другой рассказ: «На одной ветке 1 вишня, а на другой на 2 вишни больше. На второй ветке 3 вишни». Тогда получим запись: 1 + 2 = 3. Второй рассказ, конечно, можно услышать не так часто, но педагог должен быть готов к любому варианту.

Рассказ не должен на первых порах содержать вопроса, поскольку цель такого задания – учить ребенка составлять математическое выражение или равенство в соответствии с заданной ситуацией. Ситуация задана рисунком, что облегчает ученику ее восприятие, поскольку ведущий вид мышления в этом возрасте наглядно-образный.

В дальнейшем можно предлагать детям более абстрактный вариант рисунка.

Например:

Составить сюжетные рассказы по модели, вложив в нее свое содержание:

Этап работы над такими заданиями можно считать завершенным, когда дети научатся легко составлять по аналогичным рисункам тексты вида:

а) 7 белых и 2 серых квадрата, вместе 7 + 2 = 9;

б) 9 квадратов, из них 7 белых, а 2 серых 9 – 7 = 2;

в) 9 квадратов, из них 2 серых, а 7 белых 9 – 2 = 7;

г) 7 белых квадратов, 2 – серых, значит белых на 5 больше 7 – 2 = 5 и т.п.

Такие задания будут одновременно готовить ребенка к пониманию схематических моделей ситуаций задач в дальнейшем. Все эти задания следует рассматривать как подготовку к знакомству с задачей.