13.6. Числові характеристики двовимірної випадкової величини.

Крім уже відомих числових характеристик М(X) , М(Y), D(X), D(Y) та інших, які характеризують кожну компоненту окремо, для двовимірної випадкової величини (Х, Y) вводять кореляційний момент μ_xy і коефіцієнт кореляції r_xy, які характеризують зв'язок між X та Y.

Означення 9. Кореляційним моментом (коваріацією) випадкових величин X та Y називається величина

μ_xy = М((Х - M(X))(Y -M(Y))) або

μ_xy = M(XY) - M(X)M(Y). (7)

З означення кореляційного моменту випливають його властивості.

μ 1⁰. Якщо X і Y незалежні, то μ_xy = 0.

Дійсно, M(XY) = M(X)M( Y),тому μ_xy = 0.

Зауваження. Якщо μ_xy = 0, то звідси не завжди випливає незалежність X і Y.

μ 2⁰. | μ_xy| ≤ σ(X) σ(Y), де та

середньоквадратичні відхилення компонент.

Означення 10. Коефіцієнтом кореляції випадкових величин X та Y називається величина

r_ху= μ_xy/ σ_xσ_y (8)

Безпосередньо із означення випливає, що r_xy - безрозмірна

величина, така, що | r_xy| ≤1.

Зауваження. Якщо r_xy ≠ 0, то випадкові величини X та Y

корельовані, а якщо r_ху = 0, то некоредьовані. Незалежні величини завжди некорельовані(μ_xy = r_ху = 0).

Зауваження. Математичні сподівання двовимірної випадкової величини (X, Y) характеризують її координати центру розподілу:

.

Дисперсії D(X) та D(Y) характеризують розсіювання випадкової точки (X,Y) вздовж координатних осей Ох та Оу, відповідно, і знаходяться за формулами:

Означення 11. Умовним математичним сподіванням компоненти Y, обчисленої за умови, що компонента X набула значення X, називається величина

Аналогічно,

Зауваження, Лінійна кореляційна залежність між випадковими величинами X та Y має вигляд:

Така пряма називається прямою регресії. Коефіцієнт називається коефіцієнтом регресії.

Запитання для самоконтролю.

1. Що таке система двох випадкових величин? Як вона зображується геометрично?

2. Яка двовимірна випадкова величина називається дискретною? Який її закон розподілу? Як знайти закон розподілу кожної з компонент?

3. Яка двовимірна випадкова величина називається неперервною? Що називаються інтегральною функцією розподілу двовимірної випадкової величніш? На звіть її властивості і дайте геометричну інтерпретацію.

4. Що таке щільність розподілу неперервної двовимірної випадкової величини? Назвіть її властивості.

5. Сформулюйте умови незалежності компонент двовимірної випадкової величини.

6. Що таке умовний розподіл ймовірностей компонент двовимірної дискретної випадкової величини? Чому дорівнює сума ймовірностей умовного розподілу?

7. Що називається умовною щільністю розподілу ймовірностей компонент двовимірної неперервної випадкової величини?

8. Які числові характеристики двовимірної випадкової величини? Наведіть відповідні означення і формули.