Тема: Системи випадкових величин. Закони розподілу та числові характеристики двовимірних випадкових величин.

1. Двовимірні випадкові величини.

До цього часу розглядалися випадкові величини, можливі значення яких визначалися одним числом. Такі величини називають одновимірними випадковими величинами. Наприклад, кількість очок на грані грального кубика - одновимірна дискретна величина; відстань від стрільця до мішені - неперервна одновимірна величина.

Крім одновимірних випадкових величин вивчають випадкові величини, можливі значення яких визначені двома, трьома,..., п числами. Такі випадкові величини називаються відповідно двовимірними, трьохвимірними,..., п -вимірними випадковими величинами.

Приклад 1. Станок-автомат штампує кахельні плитки. Якщо контролюється довжина X і ширина Y плитки, то результат контролю є двовимірною випадковою величиною ( X, Y) .

Таким чином, двовимірну випадкову величину будемо позначати

(Х, Y), а X та Y при цьому будемо називати складовими або компонентами двовимірної величини.

Означення 1. Сукупність випадкових величин (Х, Y), які розглядаються одночасно, називається системою двох випадкових величин.

Аналогічно можна означити систему п випадкових величин.

Геометрично двовимірну випадкову величину можна зобразити як випадкову точку М(X; Y) на площині Оху, або як випадковий вектор OM(X;Y) (рис. 1).

Двовимірні величини, як і одновимірні, бувають дискретними і неперервними.

Означення 2. Двовимірна випадкова величина називається дискретною, якщо її компоненти X та Y є дискретними випадковими величинами.

Означення 3. Двовимірна випадкова величина (X,Y) називається

неперервною, якщо її компоненти X та Y с неперервними випадковими

величнами.

13.2. Закон розподілу ймовірностей дискрсгної двовимірної випадкової величини.

Означення 4. Законом розподілу ймовірностей двовимірної

дискретної величини (Х, Y) називається перелік її можливих значень і відповідних їм ймовірностей.

Закон розподілу двовимірної випадкової величини задають, як правило, у вигляді таблиці з двома входами:

X Y	x­1	х2	...	xn
y1	p11	p12	...	p1n
y2	p21	p22	...	p1n
…	...	...	...	…
ym	pm1	pm2	...	pmn

(x_i ,y_j) (і = 1,n, j= l,m) -значення двовимірної випадкової величини,

р_jі = P(x_i ,y_j ) - відповідні їм ймовірності. У першому рядку таблиці записані усі можливі значення компоненти X, у першому стовпчику - компоненти Y. Усі події в таблиці несумісні і утворюють повну групу, тому справедлива рівність:

Закон розподілу двовимірної випадкової величини дозволяє знайти закони розподілу кожної з компонент. Дійсно, події (x_i ,y₁ ), (x_i ,y₂ ),...,(x_i ,y_m ) несумісні, тому ймовірність P(x_i) того, що випадкова величина X набуде значення х_i, за теоремою додавання ймовірностей буде дорівнювати

тобто сумі ймовірностей, розміщених в і -му стовпчику

Аналогічно (за теоремою додавання ймовірностей) можна записати

закон розподілу для компоненти тобто сумі ймовірностей j -го рядка таблиці.

Обернене твердження в загальному випадку не має місця, оскільки при підсумовуванні інформація про окремі доданки зникає.

Приклад 2. Знайти закони розподілу складових двовимірної

випадкової величини ( X, Y), закон розподілу якої задано таблицею:

X Y			x­1		х2			х3
y1			0,1		0,2			0,3
y2			0,2		0,05			0,15

Y	y1	y2
Р	0,6	0,4

X	x­1	х2	х3
р	0,3	0,25	0,45

Розв'язання. Враховуючи викладене вище, запишемо закони розподілу компонент X і Y:

Контроль: 0,3+0,25+0,45=1; 0,6+0,4=1.

Розрахунки ймовірностей такі: P(х₁) = 0,1 + 0,2 = 0,3;

Р(х₂) = 0,2 + 0,05 = 0,25; P(х₃ ) = 0,3 + 0,15 = 0,45;

Р(у₁ ) = 0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,6; Р(у₂) = 0,2 + 0,05 + 0,15 = 0,4.