13.5. Залежні та незалежні двовимірні випадкові величини. Умовний розподіл.

За означенням дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, яких можливих значень набуде інша.

Теорема 1. Для того, щоб випадкові величини X та Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб інтегральна функція розподілу

F(x, у) дорівнювала добутку функцій розподілу компонент, тобто:

F(x,y)=F₁(x) ∙ F₂(y). (4)

Наслідок. Для того, щоб неперервні випадкові величини X та Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб диференціальна функція

розподілу f(X, у) дорівнювала добутку диференціальних функцій компонент, тобто:

f(x,y) = f₁(x)∙f₂(y). (5)

Зауваження. Рівності (4) та (5) можна вважати означенням незалежності компонент X та Y двовимірної випадкової величини (X,Y)

Далі розглянемо двовимірну випадкову величину (X, Y) , компоненти X та Y якої залежні. Як відомо, для залежних випадкових подій А і В справедлива рівність

Р_А(В)=Р(АВ)/Р(А).

Аналогічна рівність має місце і для двовимірних випадкових величин.

Розглянемо дискретну двовимірну випадкову величину ( X, Y) .

Нехай можливі значення компонент такі: x₁,x₂,..., х_п ; у₁, у₂,..., у_т

Позначимо умовну ймовірність того, що X набуде значення x₁ за

умови, що Y= у₁, через Р(х₁ / у₁), і = 1,п, j = 1,т.

Оточення 7. Для випадкової двовимірної велечини (X,Y) і умовним розподілом ймовірностей компоненти X за умови, шо подія Y =y₁ настала, називається множина мовних ймовірностей Р(x₁/y₁), i =1,n. причому

Р(x₁/y₁)=Р(x₁,y₁)/P(у₁), і = 1,п. (6)

Аналогічно визначається умовний розподіл ймовірностей компоненти Y.

Теорема 2. Сума ймовірностей умовного розподілу дорівнює одиниці. Дійсно,

Аналогічно доводиться формула при фіксованому x₁:

Цю властивість умовних розподілів використовують для контролю обчислень.

Приклад 5. Дискретну двовимірну випадкову величину задано таблицею:

X Y	х1	x2,	x3
y1	0,10	0,30	0,20
y2	0,06	0,18	0,16

Знайти умовний закон розподілу компоненти X за умови, що компонента Y = у₁.

Розв'язання. Шуканий закон визначається множиною умовних ймовірностей: P(x₁/y₁) , Р(x₂/y₁), P(x₃/y_l) . Враховуючи, що P( у₁) = 0,10 + 0,30+0,20 = 0,60, за формулами (5) обчислюємо:

Контроль:

Нехай тепер (Х, Y) -неперервна двовимірна випадкова величина.

Означення 8. Умовною щільністю φ(х/у) розподілу компоненти X за умови Y= у називається відношення щільності розподілу f(x, у) двовимірної випадкової величини (Х, Y) до щільності розподілу f₂(у) компоненти Y:

φ(х/у) = f(х,у)/f₂(у), f₂(у)≠0.

Аналогічно визначається умовна щільність компоненти Y за умови

X = х рівністю ψ(у/х)= f(x, y)/f₁(x), f₁(x) ≠0.

Звісно, що φ(х/у) ≥ 0, ψ(y/x) ≥ 0, а також .