13.3. Функція розподілу двовимірної випадкової величини та її властивості.

Означення 5. Інтегральною функцією розподілу двовимірної випадкової величини (X, Y) називається функція F(x, у), яка визначає

для кожної пари чисел (х, у) ймовірність виконання нерівностей X < x, Y< у, тобто F(x,y)= Р(Х < x,Y< у) ,Х 𝜖 (- ∞;∞), y 𝜖 (- ∞;∞). (2)

Г еометрично рівність (2) означає: F(x, у) є ймовірність того, що випадкова точка M(X;Y) попаде у

нескінченний сектор з вершиною (х, у) і

розміщений нижче та лівіше цієї вершини (рис. 2).

Властивості інтегральної функції

розподілу F(x, у) двовимірної величини

аналогічні властивостям функції розподілу одновимірної випадкової

величини X.

Fl°. 0 ≤ F(x, у) ≤ 1 (за означенням).

F2°. F(x, у) - неспадна функція за кожним з аргументів, тобто: F(x₂,y)≥F(x₁,y) x₂>x_l; F(x,y₂) ≥F(x,y₁) y₂>y₁,

F3°. Для функції F(X, у) мають місце граничні співвідношення:

а) (ймовірності неможливих подій);

б) lim Fix, у) — 1 (ймовірність достовірної події).

F4°. Знаходження одновимірних характеристик за двовимірними:

а) - функція розподілу компоненти X;

б) - функція розподілу компоненти Y.

F5°. Ймовірність попадання випадкової точки в півсмугу знаходиться за формулами (рис. 3а, 36):

a) P(x₁ < X < x₂, Y< y) = F(x₂, y) - F(x₁,y) ;

б)P(X < x₂, y₁<Y< y₂)=F(x,y₂)- F(x,y₁).

F 6°. Ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) упрямокутник: (х₁ <Х< х₂; у₁< Y<y₂) знаходиться за формулою (рис. 4):

p(x_l<X<x₂;y_l<Y<y₂) = (F(х₂ , y₂) -F(x₁,y₂))-(F(x₂,y₁) - F(x₁,y)).

Приклад 3, Знайти ймовірність попадання випадкової точки

( X, Y) у прямокутник, обмежений лініями: х=^π∕₆, х=^π∕₂, у=^π∕₄ ,

у=^π∕₃ якщо функція розподілу F(x,y) = sin x sin y

(0 ≤ х ≤ Y₂;0 ≤ у ≤ Y₂ ).

Розв'язання. За формулою (1) знаходимо:

F6°. Функція розподілу неперервна зліва по кожному із своїх аргументів.

13.4. Щільність розподілу двовимірної випадкової величини та її властивості.

Означення 6 Диференціальною функцією розподілу неперервної двовимірної випадкової величини або щільністю (Х, Y) називається друга мішана частинна похідна від інтегральної функції розподілу F (x, у):

. (3)

Геометрично щільність f(x, у) можна трактувати як деяку поверхню розподілу.

Основними властивостями щільності є:

f1°. f(x,.у) ≥ 0.

f 2°.

а) щільність розподілу компоненти X;

б) щільність розподілу компоненти Y.

.

f 5°. Ймовірність попадання випадкової точки в довільну двовимірну область D знаходиться за формулою /

Приклад 4. У крузі x² + у² ≤ R² двовимірна щільність ймовірності , а зовні круга f(x,y) = 0.

Знайти: а) сталу С: б) ймовірність попадання випадкової точки (X,Y) у круг з радіусом r = 1 і центром у початку координат, якщо R=2.

Розв'язання. а) За властивістю f4° двовимірної щільності ймовірності запишемо:

.

Звідси знаходимо С:

Застосувавши полярні координати x =ρ cos φ, у = ρ sin φ, обчислюємо:

б) За умовою R = 2, тому С = ³/_8π , а щільність

Ймовірність попадання випадкової величини ( X, Y) в круг з радіусом г = 1 і центром у початку координат (область D₁), знаходимо за властивістю f5 ° (рис. 5):

або у полярних координатах