Лекция (вводная) физика атома
Опыт Резерфорда.
Полуклассическая модель атома водорода
Корпускулярно-волновой дуализм
Соотношение неопределенности Гейзенберга
Волновая функция
Уравнения Шредингера. Примеры
Операторы физических величин
Атом водорода
Молекула
Молекулярные спектры
Кристалл. Уровни энергии электрона в периодическом поле
Зонная теория
Атомная физика- раздел физики, в котором изучают строение и свойства атомов и процессы с их участием.
Атом – наименьшая частица химического элемента, способная самостоятельно существовать и проявлять его свойства. Атом состоит из ядра и электронов. Электрический заряд ядра положительный равный отрицательному заряду электронов, следовательно, атом электрически нейтрален.
Строение атома было открыто Э.Резерфордом в 1911г. в опытах по рассеянию альфа-частиц на золотой пластинке. Очень малая часть альфа-частиц (дважды ионизированные атомы гелия) летящие с громадной скоростью рассеивались под большими углами, и даже назад, налетая на положительно заряженный массивный силовой центр внутри атома. Так возникла планетарная модель атома: в центре ядро вокруг него движутся электроны.
Формула Резерфорда для дифференциального сечения рассеяния
где
- элемент телесного угла «кулёк»).
Дифференциальное
сечение рассеяния
=
число
частиц падающих на кольцо /плотность
потока частиц. См рис 1.Рассеяние
-угол
рассеяния.
рис 1.Рассеяние
Полуклассическая модель атома водорода предложенная Н.Бором основа на трех постулатах:
1.Постулат стационарных состояний: электрон в атоме находится в состояниях в которых он не излучает. Спектр энергий атома дискретный. Где главное квантовое число.
2.Условие частот: электрон в атоме, переходя из одного стационарного состояния в другое состояние , излучает (или поглощает) квант электромагнитной энергии
3.Правило квантования орбит: момент импульса электрона в стационарном состоянии при движении по орбите квантован
Кулоновская сила, действующая между электроном и ядром атома водорода (протоном) равна центростремительной силе
Радиус первой боровской орбиты электрона в атоме водорода
Уровни энергии электрона в атоме водорода
Сериальная формула Бальмера-Ридберга для спектров излучения атома водорода
;
где
-серия Бальмера
(видимый свет).
-нумерует серию, -нумерует линию в данной серии
См рис .2
Рис2
Квантовая (волновая механика) - теория описывающая движение микрочастиц (молекул, атомов, ядер) и их систем.
Корпускулярно-волновой дуализм- всеобщее и универсальное свойство материи: любой волне соответствует частица и любой частице соответствует волна.
Энергия частицы
,где
-
частота волны, импульс частицы
где
-волновой вектор, длина волны вероятности
де Бройля
.
В квантовой механике нет понятия «траектория частицы» вследствие соотношения неопределенности Гейзенберга:
,
,
.
Т.е. невозможно
одновременно локализовать микрочастицу
и фиксировать её импульс
см рис3
рис 3 Соотношение неопределенностей
Чем точнее определяется значение энергии частицы, тем большее время для этого требуется
Комплексная
волновая функция
описывает состояние квантовой системы
в пространстве и времени.
Вероятность
обнаружить частицу в объеме
определяется по формуле
Условие нормировки
.
Уравнения Шредингера
Временно’е
уравнение Шредингера описывает эволюцию
квантовой системы
Где
Стационарное
уравнение Шредингера описывает поведение
частицы находящейся в заданном силовом
поле
- оператор
Лапласа
Пример1.Движение
свободной частицы вдоль оси х
с импульсом
Уравнение
Шредингера
.
Его решение
,
энергия частицы
.
Спектр энергии непрерывен, (волновая
функция осциллирует), вероятность
нахождения частицы в любой точке оси
единица.
Пример2. Движение
свободной частицы с энергией
через одномерный потенциальный
прямоугольный барьер конечной ширины
и высоты
.
Уравнения
Шредингера
,
область 1 до барьера
,
область 2 барьер
,
область3 после барьера
При падении на
барьер волновая функция
осциллирует, частично отражается,
частично проходит внутрь барьера. Внутри
барьера волновая функция ослабляется
по экспоненте
.
При выходе из барьера снова осциллирует
.
Таким образом, существует неравная нулю
вероятность прохождения потенциального
барьера. Она характеризуется коэффициентом
прозрачности прямоугольного барьера
Рис 4 Прохождение квантовой частицы через барьер
Операторы физических величин
Каждой физической
величине
соответствует линейный эрмитовый
оператор
.
Этот оператор принимает собственные
значения
на
базисе собственных функций
.
Собственные значения оператора соответствуют возможным значениям физической величины.
Собственные функции оператора соответствуют собственным состояниям, отвечающим выбранному собственному значению.
Оператор энергии
(гамильтониан)
- энергия
Векторный оператор
импульса
- импульс
Квадрат оператора
момента импульса
-квадрат
момента импульса
Оператор
-компоненты
момента импульса
-
-компонента
момента импульса
Оператор вектора
спина
Оператор
-компоненты
вектора спина
Состояние электрона в атоме полностью определяется четыремя квантовыми числами
Пример Электрон в кулоновском поле ядра (атом водорода)
Определить энергию электрона и волновые функции стационарных состояний.
Решение:
Пишем стационарное
уравнение Шредингера
.
Задача обладает сферической симметрией.
Поэтому используем сферические координаты
,
Потенциальная энергия электростатического
поля
.
Оператор Лапласа разделяем на радиальную
и угловую части
.
Заменяем
и
получаем для радиальной части волновой
функции
.
Уравнение
имеет решение
Вероятность
нахождения электрона в основном состоянии
в интервале
:
.
В ядре электрона нет, наибольшая вероятность нахождения электрона на расстоянии первого боровского радиуса, далее она падает по экспоненте. См рис 5
Рис.5
В общем случае уровни энергии соответствуют формуле Бора:
Волновая функция зависит от трех квантовых чисел
где
-сферические
гармоники.
Принцип Паули: В каждом квантовом состоянии может находится только один электрон.
Пример.
. На уровне энергии
могут находится электрон в состоянии
,
и электрон в состоянии
.Это
атом гелия с двумя электронами. Атом
лития имеет три электрона, поэтому два
электрона находятся в состояниях
:
,
один электрон находится в одном из двух
состояний
:
,
остальные шесть состояний
:
,
пустые.
Заполнение
квантовых состояний электронами
происходит в соответствие с принципом
минимума энергии и принципом Паули. При
этом электроны заполняют низшие
энергетические состояния группируясь
в электронные
оболочки(
)
от ядра наружу. Число электронов в
оболочках
равно
.
Оболочки состоят из подоболочек:
;
…
Так объясняется периодическая система химических элементов Д.И.Менделеева.
Молекулы
Молекула –наименьшая частица вещества обладающая его свойствами и состоящая из атомов соединенных химическими связями.
Образование
молекулы водорода. В первом приближении
можно считать ядра атомов неподвижными
и рассматривать только движение двух
электронов. Если спины электронов
антипараллельны то спин молекулы
если параллельны то
Энергия взаимодействия двух электронов
-электростатическая
энергия взаимодействия
-обменная
энергия (обмен электронами между
состояниями)
Два атома водорода с антипараллельными спинами притягиваются образуют гомополярную молекулу водорода.
Два атома водорода с параллельными спинами отталкиваются. График потенциальной энергии взаимодействия атомов водорода в зависимости от расстояния между электронами приведен на рис .6
Рис6 Энергия взаимодействия двух атомов водорода для триплетного и синглетного состояний. В синглетном состоянии образуется устойчивая молекула водорода (нижняя кривая)
Молекулярные спектры
Полная энергия молекулы может быть представлена в виде суммы квантованных значений энергии соответствующим трем видам её внутренних движений: электронов, колебаний атомов в молекуле. Вращению молекулы как целого.
Молекулярные
спектры возникают при квантовых переходах
между уровнями энергии молекулы
где
-квант
испускаемого фотона частоты
.
Колебательные уровни энергии
где
колебательное квантовое число
Вращательные уровни энергии
где
вращательное
квантовое число,
-вращательная
постоянная,
-момент
инерции молекулы.
Схема уровней энергии двухатомной молекулы показана на рис.7
Рис7 Уровни энергии молекулы.
Электронные молекулярные спектры лежат в видимой и ультрафиолетовой части спектра(УФ),
Колебательные спектры – в инфракрасном диапазоне(ИК)
Вращательные спектры – в микроволновом диапазоне (СВЧ).
Кристаллы
Электрон в периодическом поле кристаллической решетки. Уравнение Шредингера, волновая функция, спектр энергий.
Взаимодействие атомов приводит не только к образованию молекул .но и к макроскопическим твердым телам и жидкостям. Кристалл характеризуется дальним порядком - регулярным расположением атомов в кристаллической решетке. Кристалл обладает колебательными уровнями энергии и также электронными уровнями. Электроны во внутренних замкнутых оболочках атомов прочно связаны со своими ядрами. Электроны во внешних незамкнутых оболочках атомов могут быть свободно перемещаются по кристаллу. Тогда говорят, что они коллективизированы по кристаллу. Эти электроны называются электронами проводимости. Считаем, что они не взаимодействуют друг с другом. Поэтому можно рассматривать движение одного электрона в периодическом электрическом кристаллическом поле решетки.
Уравнение Шредингера принимает вид
Условие периодичности для потенциала
где
-произвольный
период решетки.
Тогда волновая функция имеет следующую структуру
Энергия электрона
Где
-
дискретное число. Волновой вектор
электрона
определен с точность до периода обратной
решетки
.
Так как
где
-импульс
по оси Х. получаем
где
.
Электронное
состояние распадается на группы (зоны),
которые нумеруются числами
:
,
,
Каждая зона содержит N уровней (равных числу атомов) , которые характеризуются различными значениями .
Эти зоны допустимых значений энергии отделены запрещенными областями энергии, которые недопустимы для электрона.
Зонная теория объясняет электрическую проводимость металлов, диэлектриков и полупроводников.
Зонная диаграмма –это графическая диаграмма распределения уровней энергии кристалла. Она состоит из зоны проводимости заполненной электронами остова, запрещенной зоны («энергетическая щель»в спектре энергий)где нет разрешенных уровней энергии, зоны проводимости состоящей из уровней энергии для коллективизированных электронов. См. рис.8 Зонные диаграммы металлов. полупроводников , и диэлектриков. Рис.9 Распределение электронного заряда в твердых телах.
Рис8 Зонные диаграммы металлов. полупроводников , и диэлектриков.
Рис9 Распределение электронного заряда в твердых телах.