2.6 Задача д1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Груз D массой m, получив в точке A начальную скорость υ0, движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости. На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза и направленная против движения.
В точке В груз, не изменяя значения своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила , проекция которой Fx на ось x задана в таблице Д1.
Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t1 движения груза от точки А до точки В, найти закон движения груза на участке ВС в виде функции x = f(t). Трением пренебречь.
Таблица Д1 Данные к задаче Д1
Номер условия |
m, кг |
υ0, м/с |
Q, Н |
R, Н |
l, м |
t1, с |
Fx, Н |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
2,4 |
12 |
5 |
0,8υ2 |
1,5 |
– |
4sin(4t) |
1 |
2 |
20 |
6 |
0,4υ |
– |
2,5 |
–5cos(4t) |
2 |
8 |
10 |
16 |
0,5υ2 |
4 |
– |
6t2 |
3 |
1,8 |
24 |
5 |
0,3υ |
– |
2 |
–2cos(2t) |
4 |
6 |
15 |
12 |
0,6υ2 |
5 |
– |
–5sin(2t) |
Продолжение таблицы Д1
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
5 |
4,5 |
22 |
9 |
0,5υ |
– |
3 |
3t |
6 |
4 |
12 |
10 |
0,8υ2 |
2,5 |
– |
6cos(4t) |
7 |
1,6 |
18 |
4 |
0,4υ |
– |
2 |
–3sin(4t) |
8 |
4,8 |
10 |
10 |
0,2υ2 |
4 |
– |
4cos(2t) |
9 |
3 |
22 |
9 |
0,5υ |
– |
3 |
4sin(2t) |
2.7 Задача Д2. Общие теоремы динамики механической системы
Механическая система состоит ив прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m1 = 24 кг и груза D массой m2 = 8 кг; плита или движется вдоль горизонтальных направляющих (рисунок Д2.0 – Д2.4), или вращается вокруг вертикальной оси z, лежащей в плоскости плиты (рисунок Д2.5 – Д2.9). В момент времени t0 = 0 груз начинает двигаться под действием внутренних сил по имеющемуся на плите желобу по закону s = AD = F(t), заданному в таблице Д2, где s выражено в метрах, t – в секундах. Форма желоба или прямолинейная, или выполнена по окружности радиуса R = 0,8 м с центром в центре масс C1 плиты.
Плита на рисунке Д2.0 – Д2.4 в начальный момент времени непод–вижна, а на рисунке Д2.5 – Д2.9 имеет начальную угловую скорость ω0 = 8 с-1 и в этот момент на нее начинает действовать вращающий момент М (момент относительно оси z), заданный в таблице в Н*м и направленный как ω0 при М > 0 и в противоположную сторону при М < 0. Ось z проходит от центра С1 плиты на расстоянии b; размеры плиты показаны на рисунках.
Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить указанные в таблице Д2 величины: х1 – перемещение плиты за время от t0 = 0 до t1 = 1 c, U1 – скорость плиты в момент времени t1, N1 – полную силу нормального давления плиты на направляющие в момент времени t1, ω1 – угловую скорость плиты в момент времени t1, ω = f(t) – угловую скорость плиты как функцию времени.
Таблица Д2 Данные к задаче Д2
Номер условия |
Рисунки 0 и 1 |
Рисунки 2 – 4 |
Найти на рисунках 0 – 4 |
||
s = F(t) |
= F(t) |
||||
0 |
0,6sin(πt2/3) |
(π/3)R(t2 – 3) |
x1 |
||
1 |
0,4(1 – 3t2) |
(π/3)R(3 – 2t2) |
U1 |
||
2 |
0,4sin(πt2) |
(π/2)Rt2 |
N1 |
||
3 |
0,8cos(πt2/4) |
(π/6)Rt2 |
U1 |
||
Продолжение таблицы Д2 |
|||||
4 |
0,3(1 – 3t2) |
(π/6)R(2t2 – 3) |
x1 |
||
5 |
0,8sin(πt2/2) |
(π/6)R(t2 – 1) |
N1 |
||
6 |
0,6t2 |
(π/3)Rt2 |
U1 |
||
7 |
0,4(2t2 – 1) |
πRt2 |
x1 |
||
8 |
0,6cos(πt2/2) |
(π/6)R(3 – 5t2) |
N1 |
||
9 |
1,2cos(πt2/6) |
(π/4)Rt2 |
x1 |
||
Номер условия |
Рисунки 5 – 7 |
Рисунки 8 и 9 |
На рисунках 5 – 9 |
||
= F(t) |
s = F(t) |
b |
M |
Найти |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
(π/2)R(1 – 2t) |
0,4sin(πt) |
R/2 |
8 |
ω = f(t) |
1 |
(π/6)R(1 + 2t2) |
0,2(2 – 3t) |
4R/3 |
0 |
ω1 |
2 |
(π/2)Rt2 |
– 0,8t |
R |
12t2 |
ω = f(t) |
3 |
(π/3)R(4t2 – 1) |
0,2(2 – 5t) |
4R/3 |
0 |
ω1 |
4 |
(π/6)R(5 – 7t) |
0,4(3t – 1) |
R/2 |
0 |
ω1 |
5 |
(π/3)R(2t2 – 3) |
0,6cos(πt) |
R |
–12 |
ω = f(t) |
6 |
(π/3)R(3 – 4t2) |
0,8(1 – t2) |
R/2 |
0 |
ω1 |
7 |
(π/3)R(3t – t2) |
0,8(5t2 – 2) |
πR/3 |
0 |
ω1 |
8 |
(π/6)R(2t – 3) |
0,4t2 |
R/2 |
–8t |
ω = f(t) |
9 |
(π/3)R(3 – 5t2) |
0,6(t – 2t2) |
πR/3 |
0 |
ω1 |