Итерационные методы. Верхней и нижней релаксации.
Для преодоления нелинейности, часто желательно от итерации к итерации ускорить или замедлить изменение зависимой переменной. Этот процесс называется методом верхней или нижней релаксации в зависимости от того, ускоряется или замедляется изменение функций.
Рассмотрим дискретный аналог общего вида в форме:
В
дальнейшем
будем обозначать Tp
с предыдущей итерации.
Если добавить и вычесть
Введем коэффициент релаксации:
Когда
коэффициент релаксации изменяется от
0 до 1 имеем нижнюю релаксацию. При
>1 имеем верхнюю релаксацию.
Релаксация с использованием инерции
где i – инерция. Для положительных значений i уравнение представляет соотношение для нижней релаксации, а отрицательные значения i соответствуют верхней релаксации.
Метод конечных элементов.
С появлением первых компьютеров возникла необходимость в разработке новых инженерных подходов к численному решению задач со сложной геометрией, в которых области интегрирования разбивались на подобласти. Такие подобласти и получили название конечных элементов.
Метод конечных элементов основан на идее аппроксимации непрерывной функции (в физической интерпретации - температуры, давления, перемещения и т.д.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами. Исследуемая геометрическая область разбивается на элементы таким образом, чтобы на каждом из них неизвестная функция аппроксимировалась пробной функцией (как правило, полиномом). Причем эти пробные функции должны удовлетворять граничным условиям непрерывности, совпадающим с граничными условиями, налагаемыми самой задачей.
Рассмотренный метод дискретизации вследствие использования регулярных сеток имеет вид конечно-разностного метода. При исследовании напряжений чаще используется метод конечных элементов; в последнее десятилетие этот метод начали использовать и при исследованиях теплообмена и течения жидкости. В методе конечных элементов расчетная область разбивается на элементы, такие, как треугольные элементы. Обычно дискретные аналоги получаются с помощью вариационного принципа, если он существует, или с помощью взвешенных невязок. Для описания изменения зависимой переменной Ф на элементе используются предположения о характере функции формы или профиля. С этой точки зрения метод конечных элементов не следует рассматривать как отличающийся в принципе от конечно-разностного метода. Его дополнительные возможности обусловлены только тем, что при этом методе можно использовать нерегулярную сетку. Разнесенные сетки: в узлах макротр. – рассчитывается давление, в узлах мал.треуг. – поле скор, темп.
Трудности применения. 1. Самая главная трудность связана с аппроксимацией конвективных членов. Прямое применение обычного конечно-элементного метода дает аппроксимацию, может в ряде случаев привести к физически неправдоподобным результатам. 2. В большинстве из опубликованных работ, в которых метод конечных элементов применен к расчету задач гидродинамики для получения полей компонент скорости и давления, используется прямое одновременное решение. Оно очень трудоемко. 3. При построение этих треугольников должны учитываться информация о характере течения и форме тела, причем чем более плотно будет заполняться область, тем боле точным будет решение.