И. М. Панин, Е.В.Казакова

Сборник задач по дисциплине «Геомеханика» (Динамика) для студентов, обучающихся по направлению 550600 «Горное дело»

Учебное пособие

Москва

Издательство Российского Университета Дружбы Народов

2007

Утверждено РИС Ученого совета Российского Университета Дружбы Народов

Рецензент

Доктор технических наук, профессор А.Е. Воробьев

Панин И.М., Казакова Е.В.

Сборник задач по дисциплине «Геомеханика» (Динамика) для студентов, обучающихся по направлению 550600 «Горное дело». Учебное пособие. М. Изд – во РУДН, 200 – с., пл.

Учебное пособие является второй частью сборника задач по дисциплине «Геомеханика», изданного Российским университетом дружбы народов в 2005 году. Настоящий сборник содержит 22 задачи по геодинамике. Каждая задача представлена несколькими вариантами, один из которых решен, а остальные предлагаются для самостоятельного решения.

Содержание
Введение………………………………………………………………............	5
I. Механические колебания………………………………………………..	6
I.1 Основные положения……………………………………………..........	6
I.2.Собственные колебания упругой системы в вертикальной………… плоскости….......................................................................................................	9
I.2.1. Краткие теоретические предпосылки……………………………….	9
I.2.2. Пример………………………………………………………………...	12
I.3. Собственные колебания упругой системы в горизонтальной……… плоскости……………………………………………………………………....	14
I.3.1. Краткие теоретические предпосылки………………………………..	14
I.3.2. Пример…………………………………………………………………	15
I.4. Свободные колебания упруго-вязкой системы……………………….	17
I.4.1. Краткие теоретические предпосылки……………………………….	17
I.4.2. Пример…………………………………………………………………	19
I.5. Вынужденные колебания упругой системы…………………………..	20
I.5.1. Краткие теоретические предпосылки……………………………….	20
I.5.2. Примеры……………………………………………………………….	25
I.6. Задания для самостоятельной работы…………………………………	27
II. Волны ……………………………………………………………………..	28
II.1. Основные положения…………………………………………………..	28
II.2. Волны напряжения в однородной упругой среде…………………….	29
II.2.1. Краткие теоретические предпосылки……………………………….	29
II.2.1.2.Смежные (трехосное) напряженное состояние…………………...	29
II.2.2. Пример………………………………………………………………...	31
II.3. Волны напряжений в неоднородной упругой среде…………………	32
II.3.1. Краткие теоретические предпосылки……………………………….	32
II.3.2. Примеры………………………………………………………………	33
II.4. Волны напряжений в среде с внутренним трением………………….	38
II.4.1. Краткие теоретические предпосылки……………………………….	38
II.4.2. Примеры………………………………………………………............	39
II.5. Задания для самостоятельной работы………………………………...	45
III. Взрывы………………………………………………………….................	46
III.1. Основные положения…………………………………………….........	46
III.2. Напряжения на стенке скважины……………………………………..	49
III.2.1. Краткие теоретические предпосылки………………………………	49
III.3.2. Пример…………………………………………………………..........	50
III.3. Гладкое (контурное) взрывание………………………………………	50
III.3.1. Краткие теоретические предпосылки………………………………	50
III.3.2. Пример…………………………………………………………………	52
III.4.Проектирование параметров взрыва по………………………………. езразмерным безмерным характеристикам……………………………………………………	53
III.4.1. Краткие теоретические предпосылки……………………………....	53
III.4.2. Примеры……………………………………………………………...	54
III.5. Влияние взрыва на сооружения и горные выработки……………….	56
III.5.1. Взрывы на поверхности……………………………………………..	57
III.5.1.1. Краткие теоретические предпосылки……………………….........	57
III.5.1.2. Пример……………………………………………………………...	58
III.5.2. Подземные взрывы…………………………………………………..	59
III.5.2.1. Краткие теоретические предпосылки……………………….........	59
III.5.2.2. Примеры……………………………………………………………	63
III.6. Задания для самостоятельной работы………………………………..	68
IV. Динамические проявления горного давления…………………........	70
IV.1. Общие сведения…………………………………………………..........	70
IV.2. Энергия, выделяемая при горном ударе……………………………..	72
IV.2.1. Краткие теоретические предпосылки………………………………	72
IV.2.2. Пример………………………………………………………….........	75
IV.3. Влияние горного удара на горные выработки и подземные……….. сооружения……………………………………………………………............	77
IV.3.1. Краткие теоретические предпосылки………………………………	77
IV.3.2. Примеры……………………………………………………………...	79
IV.4. Задания для самостоятельной работы………………………..............	81
Заключение…………………………………………………………………...	83
Литература .......................................................................................................	84

Введение

Дисциплина «Геомеханика» состоит из двух частей – статика и динамика.

В первой части изучаются физико-механические свойства горных массивов, оценивается напряженно–деформированное состояние и определяются условия устойчивости обнажений горного массива в горных выработках, рассчитывается установившееся горное давление.

Во второй части изучаются динамические процессы в горном массиве, вызванные взрывами зарядов ВВ, массовым обрушением пород при погашении выработанного пространства, горными ударами.

При изучении дисциплины большое внимание уделяется применению теории к решению практических задач горного дела. Выполнение этого требования вызывает у студентов определенные трудности.

Для оказания студентам помощи в преодолении этих трудностей в Российском университете дружбы народов, в 2005 году издан сборник задач по тематике первой части дисциплины «Геомеханика». Получен положительный результат: уровень подготовки студентов по дисциплине существенно вырос.

Данное учебное пособие охватывает тематику второй части дисциплины «Геомеханика» и содержит 22 задачи. Каждая задача представлена несколькими вариантами, один из которых решен, а остальные предлагаются в качестве задания для самостоятельной работы.

I.Механические колебания

I.1. Основные положения

Механические колебания–периодически повторяющиеся движения материальной точки (тела) по какой либо траектории, которую эта точка (тело) проходит поочередно в противоположных направлениях. Некоторые виды колебаний приведены на Рис. 1.

Рис. 1. Виды колебаний

а – по прямой в вертикальной плоскости

б – по прямой в горизонтальной плоскости

в – по дуге окружности в вертикальной плоскости

0 – 0 – положение устойчивого равновесия

Условия возникновения колебаний:

а) наличие у материальной точки (тела) избыточной энергии (кинетической или потенциальной) по сравнению с ее энергией в положении устойчивого равновесия 0 – 0;

б) действие на материальную точку (тело) возвращающей силы;

в) избыточная энергия материальной точки (тела) при смещении из положения устойчивого равновесия не должна полностью расходоваться на преодоление сопротивления при возвращении в это положение.

Колебания, которые совершает материальная точка (тело) под действием только одной возвращающей силы, называются собственными колебаниями этой

Колебания материальной точки (тела), которые происходят под действием на неё (него) возвращающей силы и силы сопротивления среды называются свободными колебаниями этой точки (тела).

Колебания точки (тела), которые создаются периодически действующей внешней силой, называются вынужденными колебаниями.

Выраженное в секундах время, затраченное на одно полное колебание (с возвращением в исходное положение) называются периодом колебания.

Число полных колебаний в секунду называется частотой колебаний.

Период и частота колебаний находятся во взаимной зависимости:

(1)

Величина наибольшего отклонения колеблющейся точки (тела) от положения устойчивого равновесия называется амплитудой колебания.

Колебания, при которых смещение подчиняется синусоидальному закону, называются гармоническими. В частности, колебания, которые происходят под действием только одной возвращающей силы, пропорциональной смещению (сила пружины) или силы упругости и силы тяжести, являются гармоническими.

Для гармонического колебания параметры колебательного движения можно связать с параметрами движения точки по окружности.

Если точка совершает колебания с постоянной амплитудой А и периодом , то проекция на один из диаметров точки, равномерно движущейся по окружности с радиусом А и периодом , совершает точно такое же движение. Это дает возможности изучить особенности колебаний с помощью движения проекции указанной выше точки по диаметру окружности (Рис. 2).

Рис. 2. Проекции смещений точек В и С

Угловая скорость (2)

частота (3)

; (4)

смещение: ,

скорость: ,

ускорение: ,

смещение: ,

скорость: ,

ускорение: .

I.2. Собственные колебания упругой системы в вертикальной плоскости

I.2.1. Краткие теоретические предпосылки

Груз массой m кладется на пружину с жесткостью K и система приходит в колебательное движение.

Расчетная схема приведена на Рис. 3.

Рис. 3. Расчетная схема

По второму закону Ньютона уравнение движения или 0, (5,6)

где

a – ускорение движения, м/с²;

- угловая скорость,1/с;

К – жесткость пружины;

g – ускорение земного притяжения, м/с²;

F – сила земного притяжения, H;

Z – отклонение от точки устойчивого равновесия;

Z - амплитуда колебания.

Принимаем во внимание, что ,

получаем дифференциальное уравнение движения: 0,

Начальные условия t = 0, Z = Z .

Решение уравнения имеет вид ,

поскольку ,

получаем: (7)

Принимаем во внимание, что KZ =mg и Z = .

Решение дифференциального уравнения движения примет вид:

Z= (8)

Скорость колебания: ,

, м (9)

Ускорение колебания:

,м/с². (10)

Из выражения , получим ,

откуда ; ; . (11,12,13)

I.2.2. Пример

Задача 1. Груз массой m =5кг кладется на пружину с жесткостью

К = 3000 Н/м и система приходит в колебательное движение.

Определить:

а) частоту fn и период T собственных колебаний системы;

б) скорости и ускорения для времени , , и .

Рис. 4. Расчетная схема

Решение: 1. Расчетная схема приведена рис. 4.

2. Дифференциальное уравнение движения

начальные условия: при t = 0, Z = Z₀ ,

Его решение имеет вид:

.

3. Из ,

получаем , ;

Частота колебаний ,1/с.

4. скорость колебаний

, м/с;

Ускорение колебаний

, м/с²;

5. Скорости и ускорения колебаний для , , , .

;

;

;

;

;

;

.