
- •30 Числові ряди. Збіжність. Необхідна умова збіжності. Необхідна і достатня умова збіжності.
- •31 Ознаки збіжності додатніх рядів
- •31 Ознаки збіжності додатніх рядів
- •32. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Властивості.
- •32. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Властивості
- •33. Функціональні ряди і послідовності. Рівномірна збіжність. Критерій рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштрасса, Абеля, Діріхле.
- •33. Функціональні ряди і послідовності. Рівномірна збіжність. Критерій
- •34. Степеневі ряди.Інтервал і радіус збіжності.Абсолютна,умовна і рівномірна збіжність.
30 Числові ряди. Збіжність. Необхідна умова збіжності. Необхідна і достатня умова збіжності.
Розглянемо
числову послідовність
загальний
член послідовності. Утворимо такий
символ
(1),
такий символ називається числовим
рядом.
Позначимо через
,
,
……. ,
,…
,
-
на частинна сума ряду (1). Знайдемо
,
якщо така границя існує і є скінченим
числом, то кажуть, що ряд (1) є збіжним.
Якщо
або не існує взагалі, то (1) розбіжний.
Якщо в ряді(1) відкинути перші
членів, то отримаємо ряд
,
(2) . Такий ряд називається залишком ряду
(1) після
го
члена.
Теорема
Якщо, збігається ряд (1), то збігається і будь – який його залишок. Навпаки, із збіжності залишку (2) випливає збіжність ряду (1).
Доведення.
Зафіксуємо
і позначимо
-
ту частинну суму
ряду
(2) через
:
Тоді ,
.
Якщо ряд (1) збігається, так, що
,
то при необмеженому зростанні
існує скінчена границя
і для суми
,
а це означає збіжність ряду (2). Навпаки,
нехай збігається ряд (2),
,
тоді
,
звідси при необмеженому зростанні
частинна сума
має границю
тобто збігається ряд (1). Теорему доведено.
Необхідною і достатньою умовою збіжності будь – якого числового ряду є збіжність до нуля його залишку .
Якщо
ряд збіжний, то
,
.Звідси видно, що
повинно прямувати до нуля. Якщо залишок
,
то ряд збіжний.
Необхідна умова збіжності.
Загальний
член
збіжного ряду прямує до нуля.
Це видно
з того, що раз
(а з ним і
)
мають скінчену границю
,
то
.
Зауважимо, що з того що загальний член
прямує до нуля не слідує, що ряд збіжний.
Критерій Больцано - Коші збіжності числового ряду.
необхідно
і досить, щоб
31 Ознаки збіжності додатніх рядів
Нехай дано два ряди з додатніми членами
(1),
(2)
Теор.1.
Коли кожен член ряду (1) не більший від
відповідного члена ряду (2), тобто
,
і коли ряд (2) збігаєт., то ряд (1) також
збігаєт.
Довед.
Припустимо, що
і
при зростанні індекса
не спадають:
і
дістаємо з
і
додаванням до них невід’ємних доданків
і
.
Оск.
,
за умовою, прямує до – познач. її через
,
– то
при всякому
.
Але з умовую теор. узгоджується також
;
значить
при всякому
.
Отже,
при
є неспадна і обмеж. ф–я; тому
прямує до границі.
Теор.
2. Коли кожний
член ряду (1) не менший від відповідного
члена ряду (2), тобто
,
і ряд (2) розбіж., то ряд (1) також розбіжн.
Довед.
Через те що
не спадає, то розбіжн. ряду (2) може
виникати тільки внаслідок того, що
.
Але, за умовою, що
і, отже,
також необмежено зростає прни
,
тобто ряд (1) розбіжн. Що й треба було
довести.
Ознака
Даламбера.
Коли при
існує границя відношення
,
що дорівнює
,
,то
при
ряд збіг., при
ряд розбіг. При
ряд може бути як збіжн., так і розбіжн.
Довед.
Нех.
;
завжди можна вибрати таке
,
що при
буде справедлива рівність
де
берет. настільки мале, щоб
ще залишалося меншим 1. Але тоді на
підставі загальної ознаки Даламбера
робимо висновок, що рядзбіг.
Нехай
;
ми можемо вибрати таке
,
що при
матиме місце нерівн.
де
берет. настільки мале, щоб
ще залиш. більшим від 1; на підставі
загальної ознаки Даламбера робимо
висновок, що ряд розбіг.
Нарешті, нех.
.
Як приклад візьмемо ряд
,
для якого
при
незалежно від величини показника
.
Разом з тим нам відомо, що при
цей ряд розбігається, а при
– збігається. Так що при
нічогог не можна сказати про збіжн.
ряду.