- •30 Числові ряди. Збіжність. Необхідна умова збіжності. Необхідна і достатня умова збіжності.
- •31 Ознаки збіжності додатніх рядів
- •31 Ознаки збіжності додатніх рядів
- •32. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Властивості.
- •32. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Властивості
- •33. Функціональні ряди і послідовності. Рівномірна збіжність. Критерій рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштрасса, Абеля, Діріхле.
- •33. Функціональні ряди і послідовності. Рівномірна збіжність. Критерій
- •34. Степеневі ряди.Інтервал і радіус збіжності.Абсолютна,умовна і рівномірна збіжність.
30 Числові ряди. Збіжність. Необхідна умова збіжності. Необхідна і достатня умова збіжності.
Розглянемо числову послідовність загальний член послідовності. Утворимо такий символ (1), такий символ називається числовим рядом.
Позначимо через
, , ……. , ,… , - на частинна сума ряду (1). Знайдемо , якщо така границя існує і є скінченим числом, то кажуть, що ряд (1) є збіжним. Якщо або не існує взагалі, то (1) розбіжний. Якщо в ряді(1) відкинути перші членів, то отримаємо ряд , (2) . Такий ряд називається залишком ряду (1) після го члена.
Теорема
Якщо, збігається ряд (1), то збігається і будь – який його залишок. Навпаки, із збіжності залишку (2) випливає збіжність ряду (1).
Доведення. Зафіксуємо і позначимо - ту частинну суму ряду (2) через :
Тоді , . Якщо ряд (1) збігається, так, що , то при необмеженому зростанні існує скінчена границя і для суми , а це означає збіжність ряду (2). Навпаки, нехай збігається ряд (2), , тоді , звідси при необмеженому зростанні частинна сума має границю тобто збігається ряд (1). Теорему доведено.
Необхідною і достатньою умовою збіжності будь – якого числового ряду є збіжність до нуля його залишку .
Якщо ряд збіжний, то , .Звідси видно, що повинно прямувати до нуля. Якщо залишок , то ряд збіжний.
Необхідна умова збіжності.
Загальний член збіжного ряду прямує до нуля.
Це видно з того, що раз (а з ним і ) мають скінчену границю , то . Зауважимо, що з того що загальний член прямує до нуля не слідує, що ряд збіжний.
Критерій Больцано - Коші збіжності числового ряду.
необхідно і досить, щоб
31 Ознаки збіжності додатніх рядів
Нехай дано два ряди з додатніми членами
(1), (2)
Теор.1. Коли кожен член ряду (1) не більший від відповідного члена ряду (2), тобто , і коли ряд (2) збігаєт., то ряд (1) також збігаєт.
Довед. Припустимо, що
і при зростанні індекса не спадають: і дістаємо з і додаванням до них невід’ємних доданків і . Оск. , за умовою, прямує до – познач. її через , – то при всякому . Але з умовую теор. узгоджується також ; значить при всякому . Отже, при є неспадна і обмеж. ф–я; тому прямує до границі.
Теор. 2. Коли кожний член ряду (1) не менший від відповідного члена ряду (2), тобто , і ряд (2) розбіж., то ряд (1) також розбіжн.
Довед. Через те що не спадає, то розбіжн. ряду (2) може виникати тільки внаслідок того, що . Але, за умовою, що і, отже, також необмежено зростає прни , тобто ряд (1) розбіжн. Що й треба було довести.
Ознака Даламбера. Коли при існує границя відношення , що дорівнює ,
,то при ряд збіг., при ряд розбіг. При ряд може бути як збіжн., так і розбіжн.
Довед. Нех. ; завжди можна вибрати таке , що при буде справедлива рівність
де берет. настільки мале, щоб ще залишалося меншим 1. Але тоді на підставі загальної ознаки Даламбера робимо висновок, що рядзбіг.
Нехай ; ми можемо вибрати таке , що при матиме місце нерівн.
де берет. настільки мале, щоб ще залиш. більшим від 1; на підставі загальної ознаки Даламбера робимо висновок, що ряд розбіг.
Нарешті, нех. . Як приклад візьмемо ряд , для якого
при незалежно від величини показника . Разом з тим нам відомо, що при цей ряд розбігається, а при – збігається. Так що при нічогог не можна сказати про збіжн. ряду.