33. Функціональні ряди і послідовності. Рівномірна збіжність. Критерій
рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштрасса, Абеля, Діріхле.
Ознака
Вейєрштрасса.
Нехай
(2);
визначена для
і 1)
;
2)
;
тоді (2) збігається абсолютно і рівномірно
до своєї суми,
.
Доведення.
Перевіримо виконання критерію Б-К
рівномірної збіжності. Розглянемо
(
–мажоранти
для
).
Для цього ряду можна сформулювати
критерій Б-К збіжності числового ряду.
Для
,
що для
і для
.
Треба показати, що для
;
.Треба
знайти
,
щоб
виконувалась
.
.
.
Видно,
що є рівномірна збіжність і ряд крім
того, а також ряд з абсолютних величин
також рівномірно збігається. Цю ознаку
добре застосовувати для таких рядів:
.
Якщо послідовність або ряд рівномірно
збігається, то яку б ми послідовність
чисел
не взяли, таку що
,
то завжди члени ряду можна взяти в дужки
так, щоб утворений ряд мав ряд
за мажорантом
.
Ще є дві ознаки рівномірної збіжності.
Це ознак Абеля і Діріхле, але тут ряди
збігаються рівномірно, але не абсолютно.
Ознака
Абеля і Діріхле.
(1).
.
Ознака
Абеля.
Нехай:
1) ряд складений з
збігається
рівномірно до своєї суми
,
;
2)
,
при кожному фіксованому
,
монотонна функція по
і обмежена для
.
Тоді
Доведення.
Ознака Абеля для ряду (*) читається так:
Якщо 1)
;
2)
–монотонна
послідовність по
і
,
то ряд (*) збігається умовно,
.
Доведення цієї ознаки ґрунтується на
перетвореннях Абеля. При кожному
фіксованому
ряд (1) є числовим рядом, до якого
застосована ознака Абеля (*), тому при
кожному фіксованому
.
При кожному фіксованому
справедлива теорема Абеля. Отже,
,
де роль
відіграє
,
а всі
обмежені. Аналогічно доводиться ознака
Діріхле як для числових рядів.
Ознака
Діріхле.
Нехай: 1)
;
2)
і при кожному фіксованому
,
монотонна
функція по
,
тоді
.
34. Степеневі ряди.Інтервал і радіус збіжності.Абсолютна,умовна і рівномірна збіжність.
;
,…,
,…
;
;
;
-- коефіцієнти
.
Щоб надати змісту цьому символу,розглянемо
дійсне x
і фіксуємо його. Якщо
при фіксов.
-збігається,то
це є
[
=
.
Знайдемо
,при
яких (1)-збіж. Ця множина іксів назив.областю
збіж. (1),тому сума (1) є функцією
,
яка визначена на тих х, де є збіж. цього
ряду.яка ж обл. збіж. Ряду (1)?
(1)-степеневий. Для
зручності
,
тоді
;
Теорема Абеля:Якщо
ряд
збіг.
в точ.
,то
ряд збіг. в
,які
На цьому інтервалі для всіх точ.є збіж.
Областю збіж може бути інтервал,вся
вісь,або точ. 0.
Доведення.
;
Викон.умова збіж. Загальний член
;
__має
границю,то вона обмежена. Тому для
,
,що
Запишемо
ряд для
,що
,тоді
Доведено.
Областю збіж може
бути інтервал,вся вісь,або точ. 0.
R-половина
довжини інтервалу,то це радіус збіжності.
R=0;
R=+
;
R-знаходимо
за ознакою Коші або Даламбера.
Знаходження
радіуса збіж.степ.ряду.Маємо
ряд
;
-загаль.член
ряду.
;
Необх.умова
,
.
З теореми Абеля
,то
.
Розгляд.
,то
Застос.ознаку Даламбера
;
,тоді
(4) і (1) збіж.;
=
-достатня
умова збіж.за ознакою Даламбера.
;
Проаналізуємо (6).
1)
=0;
=
.
Для
викон.(6).
2)
=+
.
Якщо
,
то (6 не викон. Степ.ряд розбіжний. Збіжний
тільки в одній точ.
і
радіус збіж. R=0.
(
)
=
=0
3)
=А
;
;
-радіус
збіжності.
-інтервал
збіжності. З аналізу 1),2),3) маємо
.
В кожній точ.інтервалу збіж.ряд (1)
збіг.абсолютно.Виникає питання,що
робиться на кінцях інтервалу.Накінцях
інтервалу можуть бути різні випадки
залежно від ряду,їх треба досліджувати
окремо.
;
