6. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества

Первый и Второй игроки играют в матричную игру с матрицей А = (a_ij). Стратегия первого есть P, а стратегия второго – Q.

В нашем случае имеем:

Седловой точки нет, что легко видеть:

					min aij
	1	-2	4	3	-2
	4	1	-2	-3	-3
max aij	4	1	4	3

-2 ≠ 1

Для начала необходимо свести нашу игру (2*4) к игре 2*2. Для этого необходимо графическое решение.

Отсюда видно, что данная матричная игра сводится к следующему варианту:

-2	3	p1
1	-3	p2
q1	q2

Имеем

_{Понятно, что p1 = 1 – p2. Отсюда}

-2 + 2p₂ + p₂ = 3 – 3p₂ – 3p₂

-2 + 3p₂ = 3 – 6p₂

9p₂ = 5 => p₂ = 5/9, p₁ = 4/9

Аналогично с q₁ и q₂. Получаем q₁ = 2/3, q₂ = 1/3

Пару оптимальных стратегий для каждого из игроков:

P* = (4/9, 5/9)

Q* = (2/3, 1/3)

Рассчитаем цену игры υ, получаем:

υ = -2 * 4/9 + 1 * 1/5 = -8/9 + 5/9 = -3/9 = -1/3

Цена игры есть математическое ожидание случайной величины W(P,Q), а, учитывая, что выигрыш одного есть проигрыш другого, имеем:

υ = m₁ = m₂

Рассчитаем риски игры r для Первого и Второго игроков:

r = δ = √D, D(x) = M(x²) – M²(x)

D₁ = 4 * 4/9 + 5/9 – (-1/3)2 = 16/9 + 5/9 – 1/9 = 20/9

δ₁ = √20/9 = 2√5/3  1,5

r₁ = δ₁ = 1,5

D₂ = 9 * 4/5 + 9 * 5/9 –1/9 = 4 + 5 – 1/9 = 80/9

δ ₂ = √80/9 = 4√5/3  3

r ₂ = δ₂ = 3

Рассчитаем среднюю дисперсию и риск:

D = 4 * 4/9 * 2/3 + 5/9*2/3 + 9 * 4/9 * 1/3 + 9 * 5/9 * 1/3 – (-1/3)2 = 32/27 + +10/27 + 36/27 + 45/27 – 1/9 = 120/27 = 40/9

δ = √40/9 = 2√10/3  2,1

R = δ = 2,1

7. Анализ доходности и риска финансовых операций

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределённости и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции раскованы, т.е. при их проведении возможны как прибыль, так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию).

Как оценить операцию с точки зрения её доходности и риска? Для этого существует несколько разных способов. Наиболее распространённым является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.

Проведём анализ доходности и риска финансовых операций. В нашем случае даны четыре операции, известны доходы и вероятности получения этих доходов:

Q1:	0	8	12	24
	1/4	1/4	1/3	1/6

Q2:	-6	-2	0	-6
	1/4	1/4	1/3	1/6

Q3:	0	2	4	16
	1/3	1/3	1/6	1/6

Q4:	-6	-5	-4	3
	1/3	1/3	1/6	1/6

Найдём средние ожидаемые доходы Qi и риски ri операций по соответствующим формулам:

Q =  q_ip_i, где p_i есть вероятность получить доход q_i.

r_i = √D_i, где Di = M(Q²) – Q².

Q₁ = 2 + 4 + 4 = 10; D₁ = 16 + 48 + 96 – 100 = 60; r₁ = √60  7,7

Q₂ = -3/2 – 1/2 - 1 = -3; D₂ = 9 + 1 + 6 – 9 = 7; r₂ = √7  2,6

Q₃ = 2/3 + 2/3 + 8/3 = 4; D₃ = 4/3 + 16/6 + 256/6 – 16 30/7; r₃ = √30,7  5,5

Q₄ = -2 – 5/3 – 2/3 + 1/2  -3,8; D₄ = 12 + 25/3 + 16/6 + 9/6 – 14,5  10;

r₄ = √10  3,2

Нанесём средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость.

Получили 4 точки. Чем правее точка (Q; r), тем более доходная операция, чем точка выше – тем более она рисковая. Нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (Q; r) доминирует над точкой (Q; r), если Q  Q и r  r и хотя бы одно из этих неравенств строгое.

В нашем случае, например, 2-ая доминирует над 4-ой.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая даёт одно число, по которому и определяют лучшую операцию. По нашему условию такая формула есть φ(Q) = 2Q-r. Тогда получаем:

φ(Q₁) = 20 – 7,7 = 12,3

φ(Q₂) = - 6 – 2,6 = -8,6

φ(Q₃) = 8 – 5,5 = 2,5

φ(Q₄) = -7,6 – 3,2 = -10,8

На основе этого видно: лучшей операцией является операция №1, а худшей – операция №4.