2. Двойственная задача

Некое предприятие, использующее те же ресурсы что и предприятие из предыдущей задачи, желает приобрести все эти ресурсы. Оно желает приобрести их по ценам y₁, y₂ и y₃ соответственно за единицу каждого из трёх ресурсов. Из условий предыдущей задачи нам известны затраты всех 3-х ресурсов для производства для каждого из 4-х видов продукции, количество ресурсов на производстве и прибыль от единицы каждой продукции:

Так как продажа ресурсов должна быть целесообразной, то прибыль от продажи единице каждого вида продукции должна быть меньше, чем прибыль от продажи ресурсов в количестве равном затрате этих ресурсов для производства единицы продукции каждого вида.

Для производства продукции 1-ого вида требуется 5 единиц 1-ого ресурса, 2 единицы 2-ого ресурса и 3 единицы 3-его ресурса, что соответствует элементам 1-ого столбца матрица А. Прибыль от продажи продукции 1-ого вида равна 50. Следовательно, для целесообразности продажи ресурсов прибыль от продажи 5 единиц 1-ого ресурса, 2-х единиц 2-ого ресурса и 3-х единиц 3-его ресурса должна быть больше, либо равна 50, т.е. прибыли от продажи продукции 1-ого вида:

Соответственные условия должны выполняться и для продукции других видов. Им соответствуют 2-ой, 3-ий и 4-ый столбцы матрицы А, а также 2-ой, 3-ий и 4-ый элементы матрицы-строки прибыли С:

Но при продаже требуется учитывать и интересы покупателя. Естественным желанием покупателя является снижение расходов. Так как предприятие желает закупить весь объём имеющихся ресурсов, то его затраты при ценах y₁, y₂ и y₃ составят , где коэффициенты при y₁, y₂ и y₃ - количество имеющихся ресурсов. Таким образом:

 min

Кроме того, так как цены не могут быть отрицательными, то .

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений х(х₁,х₂,х₃) и у(у₁,у₂,у₃) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий:

и

Ранее (см. Задачу 1) было найдено, что в решении исходной задачи х₁>0 и х₄>0. Поэтому

Учитывая, что 2-ой ресурс был избыточным, то, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка , получим систему:

откуда следует

у₁ = 7,

у₃ = 5.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов:

у₁ = 7, у₂ = 0, у₃ = 5,

причем общая оценка всех ресурсов равна

f_min = 2350

Заметим, что это решение содержалось в последней строке симплексной таблицы исходной задачи.

Данные значения y₁, y₂ и y₃ являются двойственными оценками соответствующих ресурсов, т.е. оценка единицы 1-ого ресурса равна 7, оценка единицы 2-ого ресурса равна 0, а оценка 3-его ресурса равна 5. Эти оценки являются «теневыми» ценами ресурсов. Экономически они указывают, на сколько увеличится прибыль при выполнении оптимальной производственной программы, если количество соответствующего ресурса увеличить на единицу, при неизменном количестве остальных ресурсов.

Используя задачу 1, мы можем найти оценку технологии, т.е. на сколько уменьшится прибыль, если будет произведена 1 единица продукции не по оптимальной программе. Оценки технологий получились в конечной симплексной таблице как коэффициенты при соответствующих x в целевой функции. Таким образом, при производстве единицы 2-ой продукции прибыль упадёт на 11, а для 3-ей продукции падение составит 8.