5. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений

Динамическое программирование - это вычислительный метод для решения задач управления определённой структуры. Данная задача с n переменными представляется как много шаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Рассмотрим нелинейную задачу распределения ресурсов между предприятиями отрасли. Предположим, что указано n пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено b рублей. Обозначим через f_j(x_j) прирост мощности или прибыли на j-том предприятии, если оно получит x_j рублей капвложений. Требуется найти такое распределение (х₁, х₂, ..., х_n) капвложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли

Z=f₁(x₁)+f₂(x₂)+...+f_n(x_n)

при ограничении по общей сумме капвложений х₁ + х₂ +...+х_n = b, причём будем считать, что все переменные x_j принимают только целые значения x_j =1,2,...

Функции f_j(x_j) мы считаем заданными, заметив, что их определение -довольно трудоёмкая экономическая задача.

Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Введём параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния  примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состояния F_k() определим как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получат  рублей. Параметр  может меняться от 0 до b. Если из  рублей k-ое предприятие получит Х_к рублей, то каково бы ни было это значение, остальные -Х_к рублей естественно распределить между предприятиями от 10-го до (к-1)-го предприятия, чтобы была получен максимальная прибыль F_k-1(-x_k). Тогда прибыль k предприятий будет равна f_k(x_k) + F_k-1(-x_k). Надо выбрать такое значение x_k между 0 и , чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению:

F_k() = max {f_k(x_k) + F_k-1(-x_k)}

0  X  

для k=2,3,....,n .Если же k=1 ,то

F₁()=f₁().

В нашем случае производственное объединение состоит из 4-х предприятий (k=4).Общая сумма капвложений равна 700 тыс. рублей (b=700) , выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей.

Значения функций f_j(x_j) приведены в таблице 1.

Таблица 1

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(xj)	0	15	26	37	46	53	59	63
f2(xj)	0	15	24	30	36	40	43	45
f3(xj)	0	9	30	33	31	39	45	49
f4(xj)	0	24	36	42	46	48	49	49

Прежде всего заполняем таблице2. Значения f₂(x₂) складываем со значениями F₁(-x₂)=f₁(-x₂) и на каждой побочной диагонали находим наибольшее число, которое помечаем звёздочкой. Продолжая процесс табулируем функции F₃(), x₃() и т.д. В таблице 6 заполняем только одну диагональ для значения =700.

Таблица 2

 -х2		0	100	200	300	400	500	600	700
X2	F(-x2) f2(x2)	0	15	26	37	46	53	59	63
0	0	0	15*	26	37	46	53	59	63
100	15	15*	30*	41*	52*	61*	68	74	---
200	24	24	39	50	61*	70*	77*	---	---
300	30	30	45	56	67	76	---	---	---
400	36	36	51	62	73	---	---	---	---
500	40	40	55	66	---	---	---	---	---
600	43	43	58	---	---	---	---	---	---
700	45	45	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 3

	0	100	200	300	400	500	600	700
F2()	0	15	30	41	52	61	70	77
x2()	0	0	100	100	100	100	200	200
x2()	0	100	100	100	100	200	200	200

Таблица 4

 -х3		0	100	200	300	400	500	600	700
Х3	F(-x3) f2(x3)	0	15	30	41	52	61	70	77
0	0	0	15*	30*	41	52	61	70	77
100	9	9	24	39	50	61	70	79	---
200	30	30*	45*	60*	71*	82*	91*	---	---
300	33	33	48	63	74	85	---	---	---
400	31	31	46	61	72	---	---	---	---
500	39	39	54	69	---	---	---	---	---
600	45	45	60	---	---	---	---	---	---
700	49	49	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 5

	0	100	200	300	400	500	600	700
F3()	0	15	30	45	60	71	82	91
X3()	0	0	0	200	200	200	200	200
X3()	0	0	200	200	200	200	200	200

Таблица 5

 -х4		0	100	200	300	400	500	600	700
Х4	F(-x4) f2(x4)	0	15	30	45	60	71	82	91
0	0								91
100	24							106	---
200	36						107	---	---
300	42					102	---	---	---
400	46				91	---	---	---	---
500	48			78	---	---	---	---	---
600	49		64	---	---	---	---	---	---
700	49	49	---	---	---	---	---	---	---

Z_max = 107 тыс. руб.,

причем четвертому предприятию должно быть выделено

х₄* = х₄(700) = 200 тыс. руб.

На долю остальных трех предприятий остается 500 тыс. руб. Из Таблицы 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено

х₃* = х₃(700 - х₄*) = х₃(500) = 200 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим

х₂* = х₂(700 - х₄* - х₃*) = х₂(300) = 100 тыс. руб.

На долю первого предприятия останется

х₁* = 700 - х₄* - х₃* - х₂* = 200 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

х1* = 200;	Zmax = 107
х2* = 100;
х3* = 200;
х4* = 200

Этот план обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 107 тыс. руб.

В качестве проверки правильности решения задачи можно использовать равенство

f₁(x₁*) + f₂(x₂*) + f₃(x₃*) + f₄(x₄*) = Z_max

f₁(200) + f₂(100) + f₃(200) + f₄(200) = 26 + 15 + 30 + 36 = 107 = Z_max

Следовательно, полученные решения верны.