Оглавление
	Стр.
1. Линейная производственная задача…………………………………..	3-6
2. Двойственная задача…………………………………………………...	7-8
3. Задача о «расшивке узких мест производства»……………………...	9-10
4. Транспортная задача линейного программирования………………..	11-13
5. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений…………………………………………………………………...	14-16
6. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества……….	17-18
7. Анализ доходности и риска финансовых операций…………………	19-20
8. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг……..	21
Использованная литература……………………………………………...	22

1. Линейная производственная задача

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли.

Технологическая матрица A, в которой каждый элемент a_ij означает необходимое количество i-го ресурса для выпуска j-го вида продукции:

Вектор B объемов ресурсов, каждый элемент которого b_i означает предельное количество i-го ресурса для выпуска всего объема продукции:

Вектор удельной прибыли C, элементы которого c_j означают прибыль от производства единицы продукции j-го вида:

Количество каждого из товаров задаётся с помощью производственной программы:

, где

x1, x2, x3, x4 - кол-во 1-ой, 2-ой, 3-ей и 4-ой продукции соответственно.

Технологическая матрица затрат показывает какое количество ресурсов требуется для производства 1 единицы продукции. Каждому виду продукции соответствует столбец в технологической матрице затрат А. Каждая строка матрицы А соответствует одному из видов ресурсов. Чтобы получить расход каждого ресурса при заданной производственной программе перемножим матрицу А и вектор производственной программы X:

Каждый элемент полученного вектора равен расходу соответствующего ресурса при заданной производственной программе, т.е. при x1, x2, x3, x4 . Так как матрица А указывает на необходимое количество определённого ресурса для производства 1 единицы продукции, то умножая это число на общее количество продукции данного вида мы получим расход данного ресурса для производства заданного количества определённого вида продукции. Сложив расход ресурса по всем видам продукции, мы получим общий расход ресурса.

Вектор В указывает на располагаемое количество ресурсов. Каждый элемент соответствует одному виду ресурса. Таким образом, при производстве при заданной производственной программе X и объеме располагаемых ресурсов B должны выполняться неравенства для каждого ресурса:

_{5x1 + 4x2 + 6x3 + 7x4  275; 2x1 + 4x3 + 2x4  100; 3x1 + 2x2 + x4  85}

Вектор С указывает на прибыль от продажи 1 единицы продукции каждого вида. Каждый элемент вектора соответствует одному виду продукции. Чтобы найти прибыль от каждого вида продукции следует помножить вектор производственной программу X на вектор удельной прибыли С:

Сложив элементы полученного вектора мы получим совокупную прибыль от продажи всей продукции при заданном векторе производственной программы X. Так как x₁, x₂, x₃, x₄ – неизвестные запишем полученное выражение в виде функции:

_{Z = 50x1 + 27x2 + 34x3 + 54x4}

Для достижения максимальной прибыли требуется найти максимум полученной функции Z. При этом x₁, x₂, x₃, x₄ по смыслу  0. Учитывая условия ограничения по ресурсам, получим задачу на условный экстремум:

_{Z = 50x1 + 27x2 + 34x3 + 54x4  max}

_{x1 0, x2  0, x3  0, x4  0}

Для ее решения систему неравенств при помощи дополнительных неизвестных х₅, х₆, х₇ заменим системой линейных алгебраических уравнений

_{Z = 50x1 + 27x2 + 34x3 + 54x4  max}

_{x1 0, x2  0, x3  0, x4  0}

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

х₅ – остаток ресурса 1-го вида,

х₆ – остаток ресурса 2-го вида,

х₇ – остаток ресурса 3-го вида.

Решаем полученную задачу симплексным методом (методом направленного перебора базисных допустимых решений):

			50	27	34	54	0	0	0
C	Базис	Hi	х1	х2	х3	х4	х5	х6	х7	α
0	Х5	275	5	4	6	7	1	0	0	39,3
0	Х6	100	2	0	4	2	0	1	0	50
0	Х7	85	3	2	0	1	0	0	1	85
	Z – Z0	0	-50	-27	-34	-54	0	0	0
54	X4	275/7	5/7	4/7	6/7	1	1/7	0	0	55
0	Х6	150/7	4/7	-8/7	16/7	0	-2/7	1	0	37,5
0	Х7	320/7	16/7	10/7	-6/7	0	-1/7	0	1	20
	Z – Z0	14850/7	-80/7	27/7	86/7	0	54/7	0	0
54	Х4	25	0	1/8	9/8	1	3/16	0	-5/16
0	Х6	10	0	-3/2	5/2	0	-1/4	1	-1/4
50	Х1	20	1	5/8	-3/8	0	-1/16	0	7/16
	Z – Z0	2350	0	11	8	0	7	0	5

Как видно из последней симплексной таблицы, оптимальная производственная программа имеет вид

х₁ = 20, х₂ = 0, х₃ = 0, х₄ = 25,

а максимальная прибыль равна

Z_max = 2350

При этом 1-й и 3-й ресурсы будут исчерпаны полностью (х₅=0, х₇=0), а 2-й ресурс будет иметь остаток х₆ = 10 единиц.

При выполнении производственной программы 2-й и 3-ий ресурсы используются полностью, то есть образуют “узкие места производства”.

Проверим получившийся результат.

Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе x₂ = 0 и x₃ = 0. Предположим, что вторую и третью продукции мы не намеревались выпускать с самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными. Математическая модель будет выглядеть следующим образом:

_{Z = 50x1 + 54x4  max}

x₁  0, x₄  0

Графическое решение этой задачи представлено на Рис. 1.

Из графика видно, что результаты совпадают.

Обращенный базис, отвечающий оптимальной производственной программе, содержится в последней симплексной таблице:

Для того, чтобы убедиться в правильности полученного решения, следует проверить отношение Н = Q^-1 * В: