Поле Галуа. Свойства конечных полей.
Конечное поле (поле Галуа) – конечное множество с двумя определенными на нем операциями, сложения и умножения, в котором определены правила для выполнения арифметических операций, содержащее q элементов и обозначаемое GF(q).
Свойства конечного поля:
1. Может образовывать абелевую группу по сложению.
2. Поле замкнуто относительно умножения и множество не нулевых элементов образует
абелевую группу по умножению.
3. Выполняется правило ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности для любого
элемента поля.
4. Поле всегда содержит мультипликативную единицу и аддитивную единицу, для любого
элемента поля.
5. Для любого элемента поля существует обратный элемент по сложению и обратный элемент
по умножению.
Конечное поле существует в случае, если число элементов поля является простым числом или степенью простого числа.
Наименьшее поле является двоичным полем, т.е. q = 2 и содержит элементы 0, 1:
GF (2) = {0, 1}
Для выполнения вычитания или деления необходимо найти соответственный обратный элемент, а
затем выполнить сложение или умножение. Например:
GF (5) GF (7)
3-4=(3+1)mod5=4 2-4=(2+3)mod7=5
3/4=(3*4)mod5=2 5/6=(5*6)mod7=2
Для сложения и умножения обратный элемент находить не требуется.
Поле обладает всеми свойствами кольца, а так же обладает следующим свойством: в поле всегда возможно сокращение, представляющее собой некоторую форму деления и означает, что если a*b=c*b=,то a=c.
Примитивным элементом поля Галуа называется некий элемент α , такой, что все элементы поля могут быть представлены в виде степени этого элемента, за исключением нуля. GF (5)={0,1,2,3,4} GF (5)={0,1,2,3,4,5,6}
α=2 α=3
т.к.
=2,
=4,
=3,
=1
(mod
5) т.к.
=3,
=2,
=6,
=4,
=5,
=1
(mod
7)
Пример.
Требуется определить все элементы, входящие в GF(5), и представить таблицы сложения и умножения в данном поле.
GF(5)={0,1,2,3,4}
Расширенное поле Галуа. Вычисления в конечных полях.
Расширенное
поле Галуа (GF(
)) – конечное множество, которое
образуется как система вычетов по
двойному модулю f
(x),p
и элементами такого поля являются
полиномы степени не выше n
−1 и с коэффициентами GF(p).
GF( )= {0, 1, x, x +1}
Неравномерные эффективные коды. Проблема декодирования. Вектор Крафта.
В связи с тем, что при кодировании неравновероятных сообщений равномерные коды обладают большой избыточностью, было предложено использовать для кодирования неравномерные коды, длительность кодовых комбинаций согласована с вероятностью выпадения различных букв.
Методы эффективного кодирования основаны на принципах:
укрупнения сообщений или предсказания для уменьшения избыточности, вызванной корреляцией между сообщениями
применения неравномерного кода для уменьшения избыточности, вызванной неравной вероятностью появления сообщений.
Проблема декодирования неравномерного кода:
Если источник производит буквы с фиксированной во времени скоростью и если необходимо передавать закодированные символы с фиксированной во времени скоростью, то неравномерный код приводит к проблеме ожидающей очереди. Когда источник выдаёт редкую букву, производиться длинное кодовое слово и ожидающая очередь увеличивается.
Вектор Крафта:
Вектор (L1, L2,…, Lk) состоит из неуменьшающихся положительных целых чисел, называется вектором Крафта. Для него выполняется неравенство – неравенство Крафта:
2-L1+2-L2+…+2-Lk<=1.