3. Итеративные прямоугольные и треугольные коды: их корректирующие способности, описание с помощью матриц, алгоритмы кодирования и декодирования.

Итеративные прямоугольные коды: строятся на основе кодов с проверкой на чётность. В данных кодах сообщение располагается в виде прямоугольной матрицы и к каждой строке и столбцу матрицы добавляется проверка на чётность . Минимальное расстояние данного кода d = 4. Следовательно число ошибок которые можно обнаружить равно 3 = (d-1), исправить 1 = ((d-1)/2)

Пример: где a – информационные символы, b - проверочные.

Сообщение представляем в виде прямоугольника:

где

,

Порождающая матрица:

G =

Проверочная матрица:

H =

Итеративные треугольные коды: строятся на основе кодов с проверкой на чётность. В данных кодах сообщение располагается в виде “треугольной” матрицы где в символ проверки на чётность входит как строка так и столбец. Минимальное расстояние данного кода d = 3. Следовательно число ошибок которые можно обнаружить равно 2 = (d-1), исправить 1 = ((d-1)/2)

Пример: где a – информационные символы, b - проверочные.

Сообщение представляем в виде треугольника:

где

, ,

Порождающая матрица:

G =

Проверочная матрица:

H =

4. Группы и их основные свойства. Смежные классы.

Группы и их основные свойства.

Группа – не пустое множество G с определённой на ней бинарной операцией, которое обладает след свойствами:

1. Ассоциативность (a*b)*c = a*(b*c) где a,b,c G

2. Существование нейтрального элемента e, такой что выполняется условие g*e = e*g=g, g G.

3. Каждый элемент группы g G, такой что g*h = h*g = e.

4. Абелевым или коммутативным называется группы обладающие свойством a*b = b*a где a,b G.

В любой группе единица и обратный элемент определяется однозначно в силу ассоциативности операции.

Смежные классы.

Для заданных конечных групп G и подгрупп Η , существуют операции, устанавливающие некоторую взаимосвязь между G и Η , которая называется разложением группы G на смежные классы по подгруппе Η . Обозначается , , элементов из H, причём это единичный элемент.

Сформируем таблицу следующим образом: первая строка состоит из элементов подгруппы Η , причем, первым слева выписывается единичный элемент , и каждый элемент из Η записывается в строке только один раз.

Выбираем произвольный элемент группы G , не содержащийся в первой строке, и обозначаем его , и используем в качестве первого элемента второй строки. Остальные элементы второй строки получаем путем умножения слева элементов подгруппы Η на этот элемент. Аналогично строим третью, четвертую и т.д. строки, каждый раз в качестве элемента первого столбца выбираем не использующийся на предыдущих шагах элементы группы G . Построение заканчивается тогда, когда после некоторого шага оказывается, что каждый элемент группы записан в некотором месте таблицы, процесс обрывается в силу конечности группы G . Первый элемент слева в каждой строке называется лидером смежного класса, а строка левым смежным классом, в случае абелевой группы – просто смежным классом. Если при построении разложения группы на смежные классы используется правое умножение на элементы группы G , то строки называются первыми смежными классами. То. очевидно, что построение разложения на смежные классы всегда представляет собой прямоугольную таблицу, все строки которой полностью заполнены. В разложении группы