Бесконечные пределы последовательностей

<=> A>0 существует N : n>N в.н. x_n>A

<=> B<0 существует N : n>N в.н. y_n<B

Свойства:

1) =>

=>

2) C>0

C<0

3. =>

y_n ограничена

z_n=(-1)ⁿ n не существует

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение:

Последовательность {x_n} является бесконечно малой (б/м) <=>

Последовательность {y_n} является бесконечно большой (б/б) в узком смысле <=>

Последовательность {y_n} является бесконечно большой (б/б) в широком смысле <=>

Последовательность z_n=(-1)ⁿ n является бесконечно большой (б/б) в широком смысле, т.к.

Теорема:

Пусть y_n0 и является б/б в широком смысле, тогда x_n=1/ y_n является б/м.

Пусть w_n0 и является б/м, тогда z_n=1/ w_n является б/б в широком смысле

Если w_n состоит из чисел одного знака, то z_n является б/б в узком смысле

Предел функции в точке

Определение: Пусть существует функция f определенная на (a,b)\{x₀} (x₀(a,b))

() <=> >0 существует >0 : x(a,b)\{x₀} : |x-x₀|< в.н. |f(x)-A|<

Определение: Пусть существует функция g определенная на (a,b)\{x₀} (x₀(a,b))

() <=> L>0 существует >0 : x(a,b)\{x₀} : |x-x₀|< в.н. g(x)>L

Определение: Пусть существует функция h определенная на (a,b)\{x₀} (x₀(a,b))

() <=> k>0 существует >0 : x(a,b)\{x₀} : |x-x₀|< в.н. h(x)<k

Определение: Пусть существует функция f определенная на (a,b)

() <=> >0 существует >0 : x(a,b) : a<x<a+ в.н. |f(x)-A|<

Определение: Пусть существует функция f определенная на (a,b)

() <=> >0 существует >0 : x(a,b) : b-<x<b в.н. |f(x)-B|<

Определение: Пусть существует функция g определенная на (a,b)

() <=> L>0 существует >0 : x(a,b) : a<x<a+ в.н. g(x)>L

Определение: Пусть существует функция h определенная на (a,b)

() <=> k>0 существует >0 : x(a,b) : a<x<a+ в.н. h(x)<k

Определение: Пусть существует функция g определенная на (a,b)

() <=> L>0 существует >0 : x(a,b) : b-<x<b в.н. g(x)>L

Определение: Пусть существует функция h определенная на (a,b)

() <=> k>0 существует >0 : x(a,b) : b-<x<b в.н. h(x)<k

Предел справа или слева, конечный или бесконечный называется односторонним пределом функции.

Некоторые существенные неравенства

Замечательные пределы

1. 

2. 

3. 

4. 

5. , r0

Определение:

Пусть существует f определенная на (a,b) (x₀(a,b)), тогда

Существует предел

Если функция g определена на [a,b), то говорят, g непрерывна в точке а или существует

Если функция g не непрерывна в точке а, то говорят, что она разрывна в точке а.

Пусть h определена на (a,b], то говорят, что h непрерывна в точке b, если существует

Арифметические свойства непрерывных функций в точке

Пусть  - любое значение

1. Пусть f непрерывна в точке , тогда Сf непрерывна в точке .

2. Пусть f,g непрерывны в точке , тогда f+g непрерывна в точке .

3. Пусть f,g непрерывны в точке , тогда fg непрерывна в точке .

4. Пусть f(x)0 x и f непрерывна в точке , тогда 1/f непрерывна в точке .

5. Пусть f(x)0 x и f,g непрерывны в точке , тогда g/f непрерывна в точке .

Теорема:

Пустьf[a,b], g[a,b], f непрерывна в точке , f()=

P<=f(x)<=q x[a,b]

Пусть g(y) определена на [p,q] и непрерывна в точке , => h(x) непр.

h(x)=g(f(x))

Лемма:

Пусть f(x) непрерывна в точке  <=>

<=>>0 существует >0 : x[a,b] : |x-|< в.н. |f(x)-f(|<