Определение: Будем говорить, что во множестве рациональных чисел Q произведено сечение, если Q=АА`, а

АА`

АА`=

rА и r`А` r<r`

При этом множество А называют нижним классом сечения, а

множество А` называют верхним классом сечения.

Лемма о плотности множества Q

Пусть r₁,r₂Q : r₁<r₂ => существует rQ : r₁<r<r₂

Лемма Не существует r₀Q : r₀²=2

Основное утверждение о сечениях множества рациональных чисел.

Утверждение: Пусть сечение А,А`. Тогда не может произойти так, чтобы в нижнем классе А было максимальное число, а в верхнем А` минимальное число.

Определение: Пусть есть произвольное сечение множества Q. Если для него выполняется 1 или 2 утверждение следствия, то говорят, что это сечение определяет именно то число Q, которое является либо наибольшим в нижнем классе, либо наименьшем в верхнем классе.

Если для него выполняется третье утверждение следствия, то оно определяет некоторое иррациональное число.

Определение: Множество всех рациональных чисел и множество всех иррациональных чисел называется множество вещественных чисел Q+I=R

Равенство вещественных чисел

Считается, что никакое рациональное число не равняется никакому иррациональному числу.

Пусть существует сечение А,A` и А<sub>1</sub>, А<sub>1</sub>` во множестве иррациональных чисел.

Иррациональные числа определяемые сечениями А,A` и А<sub>1</sub>, А<sub>1</sub>` называют равными, если А=А₁ А`=А<sub>1</sub>` => А=А₁ А`=А<sub>1</sub>`, т.к. А определяет А` и А` определяет А.

Неравенство между рациональными и иррациональными числами

Пусть есть иррациональное число определенное сечением А,A` ( и пусть есть произвольное рациональное число.

Неравенство между иррациональными числами.

Пусть есть сечение А,A`) и есть сечение  (B,B`)

Утверждение о множествах А и В

При указанных подмножествах чисел А, В могут существовать три возможности.

1. АB, AB

2. A=B

3. , BA

Определение: Если выполнено 1) то говорят, что 

2) то говорят, что 

3) то говорят, что 

Теорема:Для неравенств между вещественными числами справедливы свойства неравенств, применяемых для рациональных чисел.

Представление вещественных чисел в виде десятичных дробей.

Q₁₀ множество состоящее из чисел вида p/10^m , pZ, mN

rQ, rQ₁₀

Существует единственное mZ : m<r<m+1

Теорема Дедекинда.

Для всякого сечения АА` в области вещественных чисел существует вещественное число , которое производит это сечение. Это число будет

1. Либо наибольшим в нижнем классе А

2. Либо наименьшим в верхнем классе А`

Границы числовых множеств

Определение: Пусть существует подмножество E множества R, говорят, что E ограничено сверху, если существует М : xE в.н. x<=M.

Определение: Пусть существует подмножество E множества R, говорят, что E ограничено снизу, если существует N : xE в.н. x>=N.

Определение: Подмножество Е множества R называют ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.

Если множество Е ограничено сверху, то его верхней границей называют M : xE в.н. x<=M.

Если множество Е ограничено снизу, то его нижней границей называют N : xE в.н. x>=N.

Определение: Пусть множество Е ограничено сверху, тогда его точной верхней границей называется такая его верхняя граница М₀, что M в.н. M₀<=M, где М верхняя граница

Пусть множество Е ограничено снизу, тогда его точной нижней границей называется такая его нижняя граница N₀, что N в.н. N₀<=N, где N нижняя граница.

Замечание: Если Е ограниченно сверху и если М₀ его точная граница, то xE в.н. x<=M₀ и М₀ – наименьшее число, для которого эти неравенства выполняются для xE

Если Е ограниченно снизу и если N₀ его точная граница, то xE в.н. x>=N₀ и N₀ – наибольшее число, для которого эти неравенства выполняются для xE

Точная верхняя граница – supremum Е Sup E

Точная нижняя граница – Infimum E Inf E

Теорема:

1) Если множество Е ограничено сверху, то оно имеет Sup

2) Если множество Е ограничено снизу, то оно имеет Inf

Определение: Пусть существует R\Q определяет сечение А,А` множества Q. Покажем сечение B,B` множества Q – утверждения

SB <=> -SA`

S`B` <=> -S`A

По определению сечение B,B` определяет иррациональное число 

1. Пусть R\Q, A

Множество А₀ – подмножество всех rA : r>0

Q_-={rQ : r<=0}

A=Q_-₀

Множества С`, С₀

tC₀ <=> (1/t)А`

tC` <=> (1/t)А₀

C=C₀ Q_-, С`

Но оказывается, что множества С, С` являются сечением множества рациональных чисел. Они задают иррациональное число, которое называется 1/

Свойство: 



 Пусть R\Q, тогда (1/

Определение: суммы чисел

Пусть существует  (любые R или R\Q)

Они определяют сечение А,A` и B,B`

Множество Е={p+q, pА, qB}

Возьмем p₁`A`, q₁`B` и зафиксируем их pA, p<p₁` ; qB, q<q<sub>1</sub>`

p+q<p₁+q₁ значит множество Е ограничено сверху, т.е. оно имеет sup.

По определению sup E



Определение: умножение чисел

Пусть ,>0 (могут быть рациональными)

 задает сечение А,A` и  задает сечение B,B`

Множество Е={pq : p>0, pА и q>0, qB}

p₁`A`, q₁`B` выполняется неравенство p₁`>0, q<sub>1</sub>`>0

pA, p>0 0<p<p₁`

qB, q>0 0<q<q₁`

pq<p`q`, тогда Е ограничено сверху, т.е. оно имеет sup

sup E

Свойство:



  

-((- -((- ((--

Определение: Существует ,R, 0

Теорема: Арифметические операции определенные ранее при их совершении над рациональными числами, дают такое же результат, как и при применении стандартных операций. Для всех арифметических операций справедливы все те свойства, которые используются для рациональных чисел.