Алгебраические операции над вещественными числами

Определение: Пусть существует 

ⁿ⁺¹=ⁿ 

^-n=(^-1ⁿ

Определение: корня

Пусть существует n>=2

^1/n= ⁿ

множество Е : R : >0 и ⁿ<

множество Е ограничено сверху (оказывается)

^1/n=sup E

Определение: корня с рациональным показателем

Пусть существует r₀=m/n, m,nN, n>=2

Пусть существует R, >0

^r0=(^1/n)^m

Определение: числа в иррациональной степени.

1^=1

Пусть существует >1 и существует R

Множество Е = {^, r<, rQ}

Оказывается, что Е ограничено сверху

^=sup E

Пусть 0<<1

^=1/(1/^

Определение: логарифма

Пусть R, >1, R, >0

Множество Е={xR : ^x<}

Оказывается, что Е ограничено сверху

Log_sup E

Пусть R, 0<<1, >0

Log_- Log_{}

Теорема: Алгебраические операции, которые определены выше обладают всеми теми свойствами, которые известны из школьного курса.

Теория пределов

Определение: Последовательность – числовая функция, определенная на множестве N

{Xn}^oo_n=1 или X_1,X₂, …

Определение: Пусть существует {Xn}^oo_n=1 и существует аR, говорят, что а является пределом последовательности {Xn} или Xn a при n,

Если для >0 существует такой номер N : n>N в.н. |Xn-a|<

или <=> >0 существует N : n>N в.н. |Xn-a|<

Определение: Если а=0, , то последовательность {Xn} называется бесконечно малой (б/м)

Т.о. б/м – это последовательность, взятая целиком, число рассмотренное изолированным не может быть б/м.

Свойства пределов

1. Пусть Xn=a n

2. пусть существует {Xn}^oo_n=1a, тогда она ограничена, т.е. Е=

3. Существует ,C, тогда

4. , , z_n=x_n+y_n , тогда

5. Пусть существует k>=2 функций, которые определены на множестве N

{Xn¹ }^oo_n=1 ; {Xn² }^oo_n=1 ; … {Xn^k }^oo_n=1

Пусть существует С₁,С₂,…,С_k , l=1,2,…k

Рассмотрим z_n=С₁Xn¹+…+С_kXn^k, тогда

6.

7. Пусть существует {Xn¹ }^oo_n=1 ; {Xn² }^oo_n=1 ; … {Xn^k }^oo_n=1 , k>=2

;;…;=>

8. x_n0 n , a0 =>

=

9. x_n0 n

Доказательство:

=>

10. => Не существует ba :

(т.е. существует только единственное значение )

Предельный переход в неравенствах

Теорема:

Теорема: о трех последовательностях x_n,y_n,z_n

,, x_n<=y_n<=z_n n =>

Предел монотонной последовательности

Определение:

Последовательность {x_n}^oo_n=1 называется монотонно возрастающей или просто возрастающей, если n выполняется неравенство x_n<=x_n+1

Последовательность {y_n}^oo_n=1 называется монотонно убывающей или просто убывающей, если n выполняется неравенство y_n>=y_n+1

Последовательность {z_n}^oo_n=1 называется монотонной, если она возрастает или убывает.

Последовательность {x_n}^oo_n=1 называется строго возрастающей, если n выполняется неравенство x_n<x_n+1

Последовательность {y_n}^oo_n=1 называется строго убывающей, если n выполняется неравенство y_n>y_n+1

Последовательность называется строго монотонной если она либо строго возрастает, либо строго убывает.

Теорема:

а) {x_n}^oo_n=1 возрастает и ограничена сверху и существует k : n выполняется неравенство x_n<k, тогда существует а :

б) {y_n}^oo_n=1 убывает и ограничена снизу и существует h : n выполняется неравенство y_n>h, тогда существует b :

Дополнение:

1. Пусть {x_n}^oo_n=1 возрастает и ограничена сверху т.е. x_n<=k Пусть а=, тогдаx_n<=а n

Если {x_n} строго возрастает, то x_n<а n

2. Пусть {y_n}^oo_n=1 убывает и ограничена снизу т.е. y_n>=L Пусть b=, тогдаy_n>=b n

Если {x_n} строго убывает, то y_n>b n

, nN ,nN

Теорема: Последовательность {x_n}^oo_n=1 строго возрастает

{y_n}^oo_n=1 строго убывает => {x_n} и {y_n} имеют общий предел

Существует =e e=2,718281828459045

Существует =e (за е обозначим общий предел)

Формула числа е Теорема