Линейные свойства производной

Утв1 Функция f определена на открытом промежутке (a,b) и она имеет на этом промежутке n-1 порядка производную.

X₀(a,b) существует f⁽ⁿ⁾(x₀), тогда для любой постоянной С функция сf(x) имеет n-1 производную по всем точкам интервала (a,b) в точке X₀ имеет n-ую производную и имеет место такое свойство: (cf)⁽ⁿ⁾(x₀)= cf⁽ⁿ⁾(x₀)

_­­­ Утв2 Функции f,g определены на открытом промежутке (a,b) и они имеют на этом промежутке n-1 порядка производную.

В точке X₀(a,b) существует f⁽ⁿ⁾(x₀) и существует g⁽ⁿ⁾(x₀), тогда у функции f(x)+g(x) существуют n-1 производные по всем точкам интервала (a,b) в точке X₀ существует n-ая производная и имеет место такое свойство: (f+g)⁽ⁿ⁾(x₀)=f⁽ⁿ⁾(x₀)+g⁽ⁿ⁾(x₀)

Формула Тэйлора

Теорема: Пусть функция f определена на открытом интервале (a,b) и пусть точки x,x₀(a,b), причем xx₀. Предположим, что функция f имеет производные до n+1 порядка включительно для любого Z(a,b). Тогда справедлива формула, называемая формула Тэйлора с остаточным членом функции Лагранжа

f(x)=f(x₀)+f`(x₀)/1!(x-x₀)+f’’(x₀)/2!(x-x₀)²+…+f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!(x-x₀)ⁿ+f⁽ⁿ⁺¹⁾(C)/(n+1)!(x-x₀)ⁿ⁺¹, где С – некоторая точка, которая лежит между точками x и x₀.

Формула Тэйлора с остаточным членом Пеано

Теорема: Пусть функция f определена на открытом интервале (a,b) и имеет на нем n производных, пусть точки x₀(a,b) – фиксировано, причем xx₀. Тогда справедлива формула:

f(x)=f(x₀)+f`(x₀)/1!(x-x₀)+f’’(x₀)/2!(x-x₀)²+…+f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!(x-x₀)ⁿ+r(x), где r(x)/(x-x₀)  0 (xx₀)

Правило Лопиталя

Теорема1: Пусть функции f и g определены и непрерывны на некотором интервале (a,b) и предположим, что f(x₀)=g(x₀)=0

Предположим, что g(x), если xx₀ и для любого x(a,b) существует f`(x) и g`(x) причем g`(x)0, для любого xx₀. Предположим, что справедливо соотношение.

Lim_x-->x0 f`(x)/g`(x) =A - конечный предел

Тогда существует Lim_x-->x0 f(x)/g(x) =A

Теорема2: Пусть функции f и g определены и непрерывны на некотором интервале (a,b) и имеют n производных. Пусть x₀(a,b) и предположим справедливы соотношения f(x₀)=f`(x<sub>0</sub>)=…=f<sup>(n)</sup>(x<sub>0</sub>)=0 и g(x<sub>0</sub>)=g`(x₀)=…=g^(n-1)(x₀)=0, g⁽ⁿ⁾(x₀)0, Предположим g(x)0, xx₀, тогда справедливо соотношение: lim_x-->x0f(x)/g(x)=lim_x-->x0f⁽ⁿ⁾(x)/g⁽ⁿ⁾(x)

Исследование функции

Определение: f определена на [a,b], функция называется возрастающей, если для любых x,y[a,b] x<y =>f(x)<=f(y), g определена на [a,b], функция называется возрастающей, если для любых x,y[a,b] x<y =>g(x)>=g(y)

Теорема: Пусть функции f и g определены и непрерывны на замкнутом промежутке [a,b], для любого x(a,b) существует f`(x), g`(x). Для того, чтобы f была возрастающей необходимо и достаточно, чтобы f`(x)>=0 для любого x. Для того, чтобы g была возрастающей необходимо и достаточно, чтобы g`(x)<=0 для любого x.

Опр: Пусть имеется функция f определена на [a,b], говорят, что функция f является выпуклой, если для любого x,y[a,b] x<y и для любого p : 0<p<1, справедливо соотношение: f(px+(1-p)y)<=pf(x)+(1-p)f(y)

Пусть имеется функция g определена на [a,b], говорят, что функция g является вогнутой, если для любого x,y[a,b] x<y и для любого p : 0<p<1, справедливо соотношение: g(px+(1-p)y)>=pg(x)+(1-p)g(y)

Утверждение: Если f выпуклая, то –f(x) вогнутая. Если g выпуклая, то –g(x) вогнутая.

Теорема Пусть функция f определена и непрерывна на [a,b] и на открытом интервале (а,b) в каждой точке имеет производную. Предположим, что f(x) – выпуклая, тогда f`(x) возрастает (необх и дост)

Пусть функция g определена и непрерывна на [a,b] и на открытом интервале (а,b) в каждой точке имеет производную. Предположим, что g(x) – вогнутая, тогда g`(x) убывает (необх и дост)

Следствие: Пусть функция f определена и непрерывна на [a,b] и пусть на всем открытом промежутке существует первая и вторая производные в каждой точке (a,b), для того, чтобы f(x) была выпукла необходимо и достаточно, чтобы f``(x)>=0

Пусть функция g определена и непрерывна на [a,b] и пусть на всем открытом промежутке существует первая и вторая производные в каждой точке (a,b), для того, чтобы g(x) была вогнута необходимо и достаточно, чтобы g``(x)<=0

Неопределенный интеграл:

Опр: Пусть функция f определена на некотором открытом интервале (a,b). Функция g определенная на том же интервале, называется первообразной для f, если для любого x(a,b) существует g`(x) и справедливо соотношение g`(x)=f(x)

Теорема Пусть функция f определена и непрерывна на [a,b]. Тогда у функции f существует по крайней мере одна первообразная g на открытом интервале (a,b)

Теорема Если взять любую постоянную C и рассмотреть g₁(x)=g(x)+C, то g₁(x) - тоже является первообразной для f; если g₁ как и g является первообразной функции f, то существует такая C: g₁(x)=g(x)+C

Коментарий: Из утверждения теорема следует, что если известна какая-то первообразная g для f, то любая другая первообразная g₁ может быть получена по формуле g₁(x)=g(x)+C с какой-то постоянной С

Интегрирование по частям

Теорема: U,V Определены на (a,b) и имеют там непрерывные производные U` и V`, тогда справедливо:

U(x)V`(x)dx=U(x)V(x)-V(x)U`(x)dx

Замена переменной в неопределенном интеграле:

Теорема: f определена на (a,b) и имеент первообразную

(t) определена на (p,q) Существует непрерывная `(t) при этом (t)(a,b) для любого t(p,q), тогда справедливо: f(x)dx=а((t))`(t)dt

Интегрирование рациональных выражений

Опр: Рациональная функция R=P/Q называется правильной дробью, если степень числителя строго меньше степени знаменателя. Нашей целью является выражение R(x)dx в виде комбинации элементарных функций. Соотношение R=U+r/Q и свойство линейности влечет, что: R(x)dx=U(x)dx+r(x)/Q(x) dx, U(x) – это многочлен, значит его можно взять пользуюясь свойством линейности и таблицей интегралов. Остается только найти интеграл от правильной рациональной дроби

Теорема о разложении правильной рациональной дроби на простейшие дроби

Пусть R(x)=P(x)/Q(x) – правильная рациональная дробь. Тогда она может быть единственным образом представлена в виде суммы слагаемых следующего вида: a_kt/(x-_k)^t, где t : 1<=t<=m_k, а также слагаемыми вида: (b_jsx+C_js)/(x²+p_jx+q_j)^S, 1<=S<=l_j, где вещественные числа _k, натуральные числа m_k, a также вещественные числа P_j, q_j и натуральные числа l_j взяты из основной теоремы алгебры.

Для того, чтобы в конкретных случаях определить коэффициенты a_kt, b_js и c_js надо записать рациональную дробь R(x) в виде предполагаемой суммы, в которой должны фигурировать все k,j,s,t, соответствующие ограничениям. Умножить обе части уравнения на Q(x), получим равенство, в левой части которого стоит известный многочлен P(x), а в правой многочлен коэффициенты которого выражены через a_kt, b_js, c_js, Затем приравняв коэффициенты при степенях, получим невырожденную систему, которая определяет коэффициенты единственным образом.

Неопределенные интегралы от тригонометрических функций

Определение: Многочленом от двух переменных U,V называется сумма слагаемых вида

P(U,V)=a₀+a₀₁U+a₁₀V+a₀₂U²+a₁₁UV+a₂₀V²+…+a_0nUⁿ+a_1,n-1U^n-1V+…+a_n0Vⁿ. Рациональной функцией от 2-х переменных называется R(U,V)=P(U,V)/Q(U,V) Q0. Пусть есть рациональная функция от двух переменных, положим U=cos x, V=sin x, тогда R(cos x, sin x)

Теорема: R(cos x, sin x) dx может юыть выражена в виде конечной комбинации элементарных функций. Cos x=(1-t²)/(1+t²), sin x=(2t)/(1+t²), dx=(1/(1+t²))dt

Неопределенные интегралы от иррациональных функций

Пусть есть функция вида R(x, ⁿx+/(x+)) и 0

Теорема: Неопределенный интеграл  R(x, ⁿx+/(x+))dx может быть вражен в виде конечной комбинации элементарных функций. X=(tⁿ-)/(-tⁿ)

Подстановка Эйлера.

Имеется рациональная функция от двух переменных R(U,V) будем рассматривать ax²+bx+c a0 ,будем рассматривать интегралы: R(x,ax²+bx+c)dx

Теорема: Неопределенный интеграл вида ^ может быть выражен в виде конечной комбинации элементарных функций.

Рассмотрим 3 ситуации:

1. a>0 t=g(x)=ax²+bx+c-ax

2. c>0 t=g(x)=(ax²+bx+c-с)/x

3. ax²+bx+c=a(x-)(x-) t=g(x)=(ax²+bx+c)/(x-)

Определенный интеграл

Определение: Пусть имеется замкнутый промежуток [a,b] разбиение этого промежутка называется множество X, состоящее из x₀<=x₁<=…<=x_n x₀=a, x_n=b

Будем называть рангом разбиения r(x)=max(x_i+1-x_i) 0<=i<=n-1 максимальное значение промежутка

Если есть множество Т, которое состоит из n чисел T={t_i}^n-1_i=0 и есть разбиение X, то будем говорить, что множество Т соответствующее разбиению X, если t_i[x_i,x_i+1]. Имеет функцию f определенную на [a,b] Допустим имеется разбиение X и соответствующее ему множество T, интегральной суммой для разбиения X и множество Т ,будем называть.

(f,X,T)=^n-1_i=0 f(t_i)(x_i+1-x_i).

Предельный переход в неравенствах

Пусть есть функция f определения на замкнутом промежутке [a,b] и некоторое число А, говорят, что суммы Римана для функции f, разбиения X, множество Т  А, т.е. (f,X,T)A при r(x)0. Для любого  существует >0: Для любого разбиения X, r(x)< и для любого T соответствующего X справедливо соотношение. |(f,X,T)-A|<

Определение колебания функции на промежутке.

Имеется функцию f, который определен на [, колебания функции на этом промежутке f на этом промежутке _f()=sup f(x)-Inf f(x). Если неограничена сверху(снизу) или ни там, ни там, то полагаем колебания =+. Для того, чтобы интегральные суммы функции f к какому-то числу А при r(x)0, необходимо и достаточно, чтобы Inf по всем возможным разбиениям X=0

Inf ^n-1_i=0 _f(x_i,x_i+1)(x_i+1-x_i)=0

Теорема Кантора

Пусть функция определена на замкнутом промежутке [a,b] => для любого >0 существует , зависящая только от  т.ч. для любого x,y[a,b]: |x-y|< выполняется соотношение |f(x)-f(y)|<

Теорема о существовании конечного предела интегральных сумм для непрерывных функций

Пусть существует f определенная на замкнутом интервале [a,b] => ее интегральные суммы стремяться к конечному пределу при ранге разбиения  0.

Формула Ньютона-Лейбница

_­­­