Вопросы

1. Сечение множества R возможные типы сечений. Вещественные числа. Определение 

2. Десятичное разложение вещественных чисел

3. Сечение множества вещественных чисел. Теорема Дедекинда

4. Supremum, Infimum их существование

5. Арифметические действия над вещественными числами

6. Корень, степень, логарифм, вещественные числа

7. Предел последовательности. Арифметические свойства предела

8. Теорема о двух и трех последовательностях

9. Существование предела монотонной последовательности

10. Число е

11. Бесконечные пределы последовательности и их свойства

12. Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности и связь между ними

13. Варианты определения предела функции

14. Свойства предела функции. Теорема об одностороннем пределе.

15. Существенные неравенства для ln x, е^x

16. Существенные неравенства для (1+х)^(1/x)

17. Существенные неравенства для Sin(x)

18. Замечательные пределы

19. Непрерывность в точке. Арифметические свойства функции в точке. Непрерывность суперпозиции

20. Непрерывность функций: ln(x), e^x, x^r, sin(x), Cos(x)

21. Теорема Больцано-Коши о непрерывных функциях

22. Теорема о непрерывности обратной функции. Теорема Вейерштраса.

23. Производная и дифференцируемость функции в точке

24. Производная и арифметические действия над ней

25. Производная сложной функции

26. Производная обратной функции

27. Таблица основных производных

28. Теорема Ролля, Лагранжа, Коши, Ферма

Определение сечения во множестве рациональных чисел

(Ключевое определение в теории Дедекинда)

Определение: Будем говорить, что во множестве рациональных чисел Q произведено сечение, если Q=АА`, а

АА`

АА`=

rА и r`А` r<r`

При этом множество А называют нижним классом сечения, а

множество А` называют верхним классом сечения.

1. Пусть r₀Q

A состоит из всех rQ : r<=r₀

A` = {r`Q : r`>r₀}

rA, r`A`

r<=r₀<r` => r<r`

В А есть самое большое число т.к. r₀ <=r₀ => r₀A

В А` нет самого маленького числа.

Доказательство:

Лемма о плотности множества Q

Пусть r₁,r₂Q : r₁<r₂ => существует rQ : r₁<r<r₂

Доказательство: 1) r₁<0, r₂>0 => r=0

2) r₁,r₂<0 => r= (r₁+r₂)/2

Доказательство от противного:

rA, r`A`

Пусть r₁`A`, r₁`<=r` r`A`

r₁`>r<sub>0</sub>, т.к. r<sub>1</sub>`A` по Лемме существует r<sub>2</sub>Q : r<sub>0</sub><r<sub>2</sub><r<sub>1</sub>`

r₂>r₀ => r₂A и r₂<r₁` => r<sub>2</sub>A` => r₂AА` <=> АА`Q <=> r₂Q

Значит наше предположение неверно, в А нет самого маленького числа.

2. Пусть r0q

A = {rQ : r<r₀}

A` = {r`Q : r`>=r₀}

В А нет самое большого число

В А` есть самого маленькое числа.

3. A = {rQ : r<=0 или rQ : (r>0)r²<2)}

A` = {r`Q : (r`>0)r`²>2)}

Лемма Не существует r₀Q : r₀²=2

Доказательство:

Пусть существует r₀Q : r₀²=2

Пусть r₀²= |r₀|² т.к. r₀Q

т.е. т.е. т.е.

p₀=2p₁

q₀=2q₁

Значит наше предположение не верно, не существует r₀Q : r₀²=2

Данная лемма rQ выполняется неравенство r²<2)r²>2)

Таким образом получает сечение рациональных чисел.

В полученном сечении В А нет самое большого число

В А` нет самого маленького числа.

Свойство полученного сечения.

В верхнем классе А нет самое большого число

В нажнем классе А` нет самого маленького числа.

Пусть 0<r=p/q ,p,qN

p>=1, q>=1

r₁=

r₁A т.к. r₁² >2 ; r₁>r

Значит в нижнем классе нет наибольшего числа.

Для верхнего класса доказательство аналогично.

Сечение которое показано в 3-ем примере, как будет формально записано позднее задает иррациональное число 2

Основное утверждение о сечениях множества рациональных чисел.

Утверждение: Пусть сечение А,А`. Тогда не может произойти так, чтобы в нижнем классе А было максимальное число, а в верхнем А` минимальное число.

Доказательство:

Пусть верно обратное т.е.

Существует r₀A : rA r<= r₀ и

Существует r₁`A` : r`A` r`>= r<sub>1</sub>`

r₀<r₁` (по 3-му свойству сечений) => существует Q : r<sub>0</sub><<r<sub>1</sub>`

=>  АА`=Q

Значит наше предположение неверно

Следствие в Q

Пусть существует А,А` тогда:

• либо в А есть наибольшее, а в А` нет наименьшего числа

• либо в А` есть наименьшее, а в А нет наибольшего числа

• либо в А нет наибольшего, а в А` нет наименьшего числа

Доказательство

	Есть	Нет			Есть	Нет			Есть	Нет			Есть	Нет
А	1	0		А	1	0		А	0	1		А	0	1
А`	1	0		А`	0	1		А`	0	1		А`	1	0

Невозможно

Определение: Пусть есть произвольное сечение множества Q. Если для него выполняется 1 или 2 утверждение следствия, то говорят, что это сечение определяет именно то число Q, которое является либо наибольшим в нижнем классе, либо наименьшем в верхнем классе.

Если для него выполняется третье утверждение следствия, то оно определяет некоторое иррациональное число.

Определение: Множество всех рациональных чисел и множество всех иррациональных чисел называется множество вещественных чисел Q+I=R

Равенство вещественных чисел

Считается, что никакое рациональное число не равняется никакому иррациональному числу.

Пусть существует сечение А,A` и А<sub>1</sub>, А<sub>1</sub>` во множестве иррациональных чисел.

Иррациональные числа определяемые сечениями А,A` и А<sub>1</sub>, А<sub>1</sub>` называют равными, если А=А₁ А`=А<sub>1</sub>` => А=А₁ А`=А<sub>1</sub>`, т.к. А определяет А` и А` определяет А.

Неравенство между рациональными и иррациональными числами

Пусть есть иррациональное число определенное сечением А,A` ( и пусть есть произвольное рациональное число.

Пусть r₀Q r₀< <=> > r₀<=> r₀A

Пусть r₁Q r₁> <=>  r₁<=> r₁A`

Неравенство между иррациональными числами.

Пусть есть сечение А,A`) и есть сечение  (B,B`)

Утверждение о множествах А и В

При указанных подмножествах чисел А, В могут существовать три возможности.

1. АB, AB

2. A=B

3. , BA

Определение: Если выполнено 1) то говорят, что 

2) то говорят, что 

3) то говорят, что 

Теорема: Для неравенств между вещественными числами справедливы свойства неравенств, применяемых для рациональных чисел.

Представление вещественных чисел в виде десятичных дробей.

Q₁₀ множество состоящее из чисел вида p/10^m , pZ, mN

rQ, rQ₁₀

Существует единственное mZ : m<r<m+1

Если и т.д. m₁0,1,2..9

r существует m_к :

(m, m₁, m₂, …)

То же для I : m<m+1 существует m₁0,1,2..9 : .

Определение: Будем говорить, что в множестве R проведено сечение, если R= АА`, причем А и А` обладают следующими свойствами

1) АА`

2) АА`=

rА и r`А` r<r`

множество А нижний класс сечения

множество А` верхний класс сечения

Теорема Дедекинда.

Для всякого сечения АА` в области вещественных чисел существует вещественное число , которое производит это сечение. Это число будет

1. Либо наибольшим в нижнем классе А

2. Либо наименьшим в верхнем классе А`

Доказательство:

1) В А нет наибольшего, в А` нет наименьшего.

Пусть верно обратное, т.е.

Существует ₁A` : `A` <sub>1</sub><=`, существует ₀A : A <=₀

По третьему свойству ₀<₁`

Пусть ₀,₁`I, тогда <sub>0</sub><<sub>1</sub>` <=> C₀С₁ и C₀С₁

Существует rQ : rС₁ <=> r<₁`, rС₀ <=> rС₁ <=> r>₀

Получаем: Существует rQ : r>₀ => rA

r<₁` => rA` => rАА` => rQ !!

Значит наше предположение неверно: В А нет наибольшего, в А` нет наименьшего.

2) А, А`R

V=AQ V,V`Q

V`=A`Q

₀R тогда ₀A или ₀A`

Пусть ₀A => A выполняется неравенство ₀

Пусть верно обратное, т.е. не наибольшее в А, т.е. существует ^*A : ^*>₀

Существует r₀Q : ₀<r₀<^*

^*A => r₀A и r₀Q => r₀ V

r₀ V, ₀ определяется сечением V,V` =>

r₀<=₀ => значит наше предположение неверно ₀A =>

но r₀>₀ A выполняется неравенство ₀

Для ₀A` доказательство аналогичное.