Производные и ее основные свойства

Определение Пусть существует f определенная на (a,b), пусть x₀(a,b), тогда говорят, что функция f имеет производную в точке x₀, если существует (1)

Говорят, что функция дифференцируема в точке х₀ , если существует такая постоянная величина А и некая (h) при h0, для которых справедливо свойство:

f(x₀+h)-f(x₀)=Ah+(h) (2) и (3)

Теорема: Функция f имеет производную в точке х₀, тогда и только тогда, когда она дифференцируема в точке х₀. При это для значения f `(x<sub>0</sub>) и для числа А справедливо равенство А= f `(x₀)

Замечание: Из определения производной функции в силу свойства единственности предела, следует, что если существует производная в точке х₀, то она единственна. Определение не гарантирует, что существует единственное А.

Применение этой теоремы влечет единственность А

Доказательство: теоремы

Пусть существует производная

1. => (5)

2. <=> f(x₀+h)-f(x₀)= f `(x₀)+hr(h)

A=f `(x₀)

(5)=>(3)

Пусть функция дифференцируема

=>f `(x₀)=A

Арифметические свойства функции, имеющей производную

1. f определена на (a,b), x₀(a,b), тогда f непрерывна на (а,b)

Доказательство:

f(x₀+h)-f(x₀)=Аh+(h) <=> f(x₀+h)=f(x₀)+Аh+(h)

f(x₀) = f(x₀) +0 + 0 (h0)

Значит f непрерывна на (а,b)

2. Пусть существует f `(x₀), C, тогда

(Cf)`(x<sub>0</sub>)=C f `(x₀)

Доказательство:

по свойствам предела

3. Пусть существует f `(x<sub>0</sub>), g `(x₀), тогда (f­+g)`(x<sub>0</sub>)=f `(x₀)+g `(x₀)

Доказательство:

4. Пусть существует f `(x<sub>0</sub>), g `(x₀), тогда (fg)`(x<sub>0</sub>)=f `(x₀) g(x₀)+g `(x₀) f(x₀)

Доказательство:

= f `(x<sub>0</sub>) g(x<sub>0</sub>)+g `(x₀) f(x₀)

5. Пусть существует g `(x₀) : g(x₀)0 x(a,b), тогда

Доказательство:

6. Пусть существует f `(x<sub>0</sub>), g `(x₀) : g(x₀)0 x(a,b), тогда

Доказательство:

7. Производная сложной функции

8. f определена на (a,b) : p<f(x)<q x(a,b) и существует g(y) определенная на (p,q), тогда y₀=f(x₀) существует g`(y₀)

(x₀)=g(f(x₀))

`(x<sub>0</sub>)=g`(y₀)f `(x₀)

Доказательство:

По определению и равенства (8)

(8)=>H=f(x₀+h)-f(x₀)=f `(x₀)h+₂(h) (9)

=> g`(y<sub>0</sub>) (f `(x₀)h+₂(h))+₁(f `(x₀)h+₂(h)

?????????????????

9. Производная обратной функции.

Пусть f определена, непрерывна и строго монотонна на [a,b]

10. Пусть x₀(a,b)

Пусть f дифференцируема в точке x₀, существует f `(x₀)0

g(y) – обратная функция, у₀=f(x₀)

Тогда g дифференцируема в точке y₀ и g`(y<sub>0</sub>)=1/f `(x₀)

Доказательство: